Matemática, perguntado por fra92, 9 meses atrás

Dada a função f(x)=x²-5x-14/x³+x²-2x determine, se existir, o limite limx → -2f(x)

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
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Resposta:

\boxed{\bold{\displaystyle{-\dfrac{3}{2}}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos este limite, utilizaremos a Regra de l'Hôpital.

Sabemos que se duas funções f(x) e g(x) são diferenciáveis e logo, contínuas em c, o limite \underset{x\rightarrow ~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow ~c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}.

Utilizamos esta regra quando nos deparamos com as formas \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}.

Seja o limite da função racional \underset{x\rightarrow -2}{\lim}~\dfrac{x^2-5x-14}{x^3+x^2-2x}.

Lembre-se das regras de derivação:

  • A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: (f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x).
  • A derivada de uma potência é dada por: (x^n)'=n\cdot x^{n-1}.
  • A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função, isto é: (a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x).
  • A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplicando a regra de l'Hôpital, temos:

\underset{x\rightarrow -2}{\lim}~\dfrac{x^2-5x-14}{x^3+x^2-2x}=\underset{x\rightarrow -2}{\lim}~\dfrac{(x^2-5x-14)'}{(x^3+x^2-2x)'}

Aplicando a primeira regra de derivação discutida acima, temos

\underset{x\rightarrow -2}{\lim}~\dfrac{(x^2)'-(5x)'-(14)'}{(x^3)'+(x^2)'-(2x)'}

Aplicando as demais regras, teremos

\underset{x\rightarrow -2}{\lim}~\dfrac{2x-5}{3x^2+2x-2}

Então, como dito anteriomente, \underset{x\rightarrow ~c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}, logo:

\underset{x\rightarrow -2}{\lim}~\dfrac{2x-5}{3x^2+2x-2}=\dfrac{2\cdot (-2)-5}{3\cdot(-2)^2+2\cdot(-2)-2}

Calcule a potência e multiplique os valores

\dfrac{-4-5}{3\cdot4-4-2}\\\\\\ \dfrac{-4-5}{12-4-2}

Some os valores

-\dfrac{9}{6}

Simplifique a fração por um fator 3

-\dfrac{3}{2}

Este é o valor do limite.

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