Question

Dada a função f(x)=x²-4x+10, obtenha os valores de x cuja imagem seja 7.

Answer 1

7=x^2-4x+10
x^2-4x+10-7=0
x^2-4x+3=0
(x-1)(x-3)=0
x=1 ou x=3

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Marcos, que a resolução é simples.
Tem-se: dada a função f(x) = x² - 4x + 10, pede-se para obter os valores de "x" cuja imagem seja "7".
Note: se queremos que a imagem seja "7", então basta substituir f(x) por "7".  Fazendo isso, teremos:

7 = x² - 4x + 10 ---- passando "7" para o 2º membro, teremos:
0 = x² - 4x + 10 - 7 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
0 = x² - 4x + 3 ---- vamos apenas inverter, ficando:
x² - 4x + 3 = 0 --- agora vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é esta:

x = [-b+-√(Δ)]/2a

Note que os coeficientes da sua questão bem como o Δ são estes:

a = 1 --- (é o coeficiente de x²)
b = -4 --- (é o coeficiente de x)
c = 3 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4*1*3 = 16 - 12 = 4.

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara acima, teremos:

x = [-(-4) +- √(4)]/2*1
x = [4 +- √(4)]/2 ------ como √(4) = 2, teremos:
x = [4 +- 2]/2 ----- daqui você conclui que:

x' = (4-2)/2 = (2)/2 = 2/2 = 1
x'' = (4+2)/2 = (6)/2 = 6/2 = 3.

Assim, como você viu aí em cima, os valores de "x" cuja imagem é "7" serão estes:

x' = 1 e x'' = 3 <--- Esta é a resposta. Este são os valores de "x" que dão a imagem "7" na função da sua questão. 

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {1; 3} .

Bem, a resposta já está dada conforme você viu aí em cima. Mas apenas por mera curiosidade, note que se você substituir o "x" na sua questão [f(x) = x²-4x+10] por "1" e por "3" vai, realmente, encontrar um valor igual a "7" para f(x). Veja:

f(x) = x² - 4x + 10 ---- substituindo "x' por "1", teremos:
f(1) = 1² - 4*1 + 10
f(1) = 1 - 4 + 10
f(1) = - 3 + 10
f(1) = 7 <--- Olha aí como é verdade que a imagem é "7" para x = 1.

f(x) = x² - 4x + 10 ---- substituindo "x" por "3", teremos:
f(3) = 3² - 4*3 + 10
f(3) = 9 - 12 + 10
f(3) = - 3 + 10
f(3) = 7 <--- Olha aí como também é verdade que a imagem é "7" para x = 3.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.