Question

Dada a função F(x) = x² - 3x, determine a equação da reta tangente ao gráfico dessa curva no ponto X0 = -2​

Answer 1

Para x = -2:

$F(-2) = (-2)^2-3 \cdot (-2)\\F(-2) = 4 + 6\\F(-2) = 10$

Precisamos da derivada de F(x) para encontrar o declive da reta:

$\dfrac{d}{dx}F(x)=\dfrac{d}{dx}(x^2-3x) = \dfrac{d}{dx}x^2 - \dfrac{d}{dx}3x = \\ \\\dfrac{d}{dx}x^2 - 3\dfrac{d}{dx}x = 2x - 3 \cdot 1 = 2x - 3$

Assim:

$m = \dfrac{d}{dx}F(x)\bigg|_{x=-2} = \\ \\ 2 \cdot (-2)-3 = -4 - 3 = -7$

Utilizando a equação geral da reta:

$(y-y_0) = m(x-x_0)\\y + 10 = -7(x+2)\\y = -7x-14+10\\\boxed{y=-7x-4}$

Answer 2

A equação reduzida da reta tangente é    y = - 7x - 4  

( ver gráfico em anexo )

Para encontrar a reta tangente vou primeiro calcular o  seu declive .

Declive da reta = derivada de f (x) no valor  $x_{0} =-2$

f ' (x) = ( x² - 3x ) '

A derivada de uma soma é igual à soma das derivadas

$(x^2)'=2*x^{2-1} *x'=2x*1=2x$

$(-3x)'= -3$

f ' (x) = ( x² - 3x ) ' = 2x - 3

f '( - 2 ) = 2 * ( - 2) - 3 = - 7   Declive encontrado

O ponto de tangência ( T ) obviamente pertence também à circunferência

f ( - 2 ) = ( -  2 )² - 3 * ( - 2 ) = 4 + 6 = 10

T ( - 2 ; 10 )

Outra maneira de encontrar o declive resulta da fórmula

$declive=\dfrac{y_{2}-y_{1} }{x_{2}-x_{1} }$

Onde x1 ; y1 são coordenadas de um ponto e x2 ; y2 coordenadas de

outro ponto, ambos pertencendo a uma mesma reta.

Assim

$declive=\dfrac{y-10 }{x-(-2) }$

Como já se conhece o declive

$-7=\dfrac{y-10 }{x+2 }$

$-\dfrac{7}{1} =\dfrac{y-10 }{x+2 }$

produto cruzado

- 7 * ( x + 2 ) = y - 10

- 7x - 14 = y - 10

y - 10 = - 7x - 14    

y = - 7x - 14 + 10

y = - 7x - 4  

Equação reduzida da reta tangente.

Bons estudos.

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( * ) multiplicação       ( ' )  primeira derivada de uma função

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.