Question

Dada a função f(x)=|x²+3x-10| determine o conjunto domínio e imagem e esboce seu gráfico no intervalo de [-8,8]

Answer 1

f(x) = x² + 3x - 10 , se x² + 3x - 10 ≥ 0
e
f(x) = -(x² + 3x - 10) = -x² - 3x + 10 , se  x² + 3x - 10 < 0

Vamos fazer o gráfico da 1ª função:
-pontos de intersecção com o eixo x (são os pontos em que y = 0). y é o mesmo que f(x). Então, substituindo f(x) por 0, temos a equação  x² + 3x - 10 = 0. Vamos resolvê-la:
Δ = b² - 4ac
Δ = 3² - 4.1.(-10) = 9 + 40 = 49
x = (-b +- √Δ) / 2a
x = (-3 +- √49) / 2.1 = (-3 +- 7) / 2
x' = (-3 - 7) / 2 = -10/2 = -5
x" = (-3 + 7) / 2 = 4/2 = 2
Portanto os pontos são (-5, 0) e (2, 0)
Represente esses pontos no plano cartesiano. Evidentemente, eles ficam no eixo x.
-ponto de intersecção com o eixo y (é o ponto em que x = 0). Substituindo x por 0, dá y = 10. Portanto, o ponto é (0, 10)
Represente esse ponto no plano cartesiano, onde você já representou os outros. Esse ponto, é claro, fica no eixo y.
-vértice da parábola
xV = -b/2a
xV = -3/2.1 = -3/2
yV = -Δ/4a
yV = -49/4.1 = -49/4
Portanto o vértice é V = (-3/2, -49/4)
Represente o vértice no plano cartesiano, junto com os outros. Para facilitar, -3/2 = -1,5 e -49/4 = -12,25
Trace a parábola, bem de leve, pois vamos ficar com uma parte dela apenas.

Dessa função só nos interessa onde x² + 3x - 10 ≥ 0
Já sabemos que suas raízes, ou seja, seus zeros, são -5 e 2
Trace uma reta e represente -5 e 2 por um zerinho sobre a reta
Antes de -5 ou depois de 2, a função tem o mesmo sinal de a. Como a é positivo, coloque ++++++++ antes de -5 e depois de 2
Entre as raízes, a função tem sinal contrário de a. Portanto, nesse caso, negativo. Então coloque ------------ entre -5 e 2
Como queremos onde é ≥ 0, ou seja, onde é positivo ou zero, pinte, na reta que você fez, os intervalos onde você colocou ++++++, e também as bolinhas representando os zeros, ou seja, x ≤ -5 ou x ≥ 2
Agora reforce esses trechos da parábola que você fez, ou seja, -5 e antes de -5, 2 e depois de 2.

Agora vamos para a 2ª função:
-os pontos de intersecção com o eixo x são os mesmos, pois as equações são equivalentes
-o ponto de intersecção com o eixo y é (0, 10)
Localize esse ponto lá no plano em que você traçou a parábola.
-vértice
xV = -(-3)/2.(-1) = 3/-2 = -3/2
yV = -49/4.(-1) = -49/-4 = 49/4
Portanto V = (-3/2, 49/4), ou seja, (-1,5; 12,25)
Localize o vértice e trace a parábola, bem de leve, pois só vamos usar parte dela.

Dessa 2ª função queremos onde x² + 3x - 10 < 0
Já estudamos o sinal dessa função, só que, agora, queremos onde é < 0, ou seja, onde deu negativo. Então, faça uma reta, coloque os zeros -5 e 2, coloque ++++++ antes de -5 ou depois de 2, coloque ---------- entre -5 e 2, pinte entre -5 e 2, ou seja, -5 < x < 2

Então, da 2ª parábola, reforce a parte que fica entre -5 e 2.

O gráfico está pronto. Não consigo fazê-lo aqui, mas ele fica parecido com um W, só que é formado por curvas. As duas laterais seguem infinitamente.

O domínio é o conjunto dos números reais, portanto, D = R

O conjunto imagem é o conjunto dos números reais maiores ou igual a zero, como você pode ver pelo gráfico. Portanto,
Im = {y ∈ R / y ≥ 0}
Você também pode escrever   Im = R+ (só que esse + fica um pouco abaixo)

Answer 2

Me desculpa essa eu não sei

mas tem videos aula