Question

Dada a função f(x) = x² - 2x - 3, determine as raizes da função; as cordenadas do vértice; as cordenadas do ponto em que a parábola intercepta o eixo y; se a função tem valor de máximo ou de mínimo e qual é esse valor.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a= 1  

b= -2  

c= -3  

 

Calcule o valor de delta  

Δ =   b² – 4ac  

Δ =  -2² – 4(1)(-3)  

Δ =  4+12  

Δ =  16

Δ > 0 há duas raizes reais)

 

Calcule os valores de x pela expressão  

x =  (– b ± √Δ)/2a  

 

Observe o sinal ±. Isso indica que x possui dois valores: para +√Δ e outro para -√Δ.  

x =  (-(-2) ± √16)/2*1  

Raizes

x’ =  (2 + 4)/2 = 6/2 = 3

x” = (2 - 4)/2 = -2/2 = -1

 

A > 0, parábola para cima, sendo assim, o vértice indica o valor mínimo

 

Interceptando o eixo y

Para x = 0 , y sempre será igual a C.  

Portanto (0,-3), é um ponto valido  

 

Vértices da parábola    

Vx =  -b/2a  

Vx = -(-2)/2.1  

Vx = 1/1  

 

Vy= Δ/4a  

Vy= 16/4.1  

Vy= 4/1  

 

V(x,y) = ( 1 ; 4 )  

 

Interseção com abcissa (eixo X raízes)  

A ( 3;0)  

B ( -1;0)  

Pontos para o gráfico

x x²-2x-3  y

2     (2)²-2(2)-3 -3    

1     (1)²-2(1)-3  -4    

0 (0)²-2(0)-3 -3    

-1     (-1)²-2(-1)-3 0    

-2    (-2)²-2(-2)-3 5    

-3    (-3)²-2(-3)-3 12    

-4    (-4)²-2(-4)-3 21    

Answer 2

A respeito da função f(x) = x²-2x-3: as suas raízes são -1 e 3; as coordenadas do ponto em que a parábola intercepta o eixo y é (0,-3); e o valor de mínimo da função é f(1) = -4.

Podemos utilizar cada uma das informações pedidas utilizando as fórmulas  corretas a respeito das Funções Quadráticas.

Função Quadrática

Uma função quadrática é uma relação que pode ser dada pela fórmula geral:

$\boxed{f(x) = ax^2+bx+c, \: a \neq 0}$

Sendo, $a, b \text{ e } c$ os coeficientes da função.

Para a função dada, os coeficientes são:

• $a=1$;
• $b=-2$;
• $c=-3$.

Raízes da função

Podemos determinar as raízes da função através da fórmula de Bhaskara:

$\boxed{ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c} }{2 \cdot a} }$

Substituindo os valores dos coeficientes na fórmula:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c} }{2 \cdot a} \\\\x = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-3)} }{2 \cdot 1} \\\\x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4+12} }{2} \\\\x = \dfrac{2 \pm \sqrt{16} }{2} \\\\x = \dfrac{2 \pm 4 }{2} \\\\\boxed{x = -1 \text { ou } x =3}$

Assim, as raízes da equação são x = -1 e x = 3.

Interceptação com o eixo y

O ponto em que a função quadrática intercepta o eixo y do plano cartesiano é dado pelas coordenadas:

$\boxed{ P_y = (0,c)}$

Assim, o ponto interceptação do gráfico com o eixo y tem coordenadas (0, -3).

Máximos e mínimos

Em uma função quadrática, se:

• $a > 0$ o gráfico da função será uma parábola com concavidade voltada para cima e sua imagem apresentará um valor de mínimo;
• $a < 0$ o gráfico da função será uma parábola com concavidade voltada para baixo e sua imagem apresentará um valor de máximo;

Além disso, o valor de máximo ou mínimo da função corresponde ao valor da ordenada do vértice:

$\boxed{ V_y = -\dfrac{\Delta}{4a} = -\dfrac{b^2- 4 \cdot a \cdot c}{4a} }$

Substituindo os valores dos coeficientes na fórmula:

$V_y = -\dfrac{b^2- 4 \cdot a \cdot c}{4a} \\\\V_y = -\dfrac{(-2)^2- 4 \cdot 1 \cdot (-3)}{4\cdot 1} \\\\V_y = -\dfrac{4+12}{4} \\\\\boxed{\boxed{V_y = -4}}$

Assim, o valor de mínimo da função é igual a -4.

Para saber mais sobre Funções Quadráticas, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/51543014

Espero ter ajudado até a próxima :)

#SPJ3