Question

dada a função f(x)=-x² + 10x - 21 determine:

a) as raízes da função.
b) os valores do vértice
c) os sinais da função, ou seja, os intervalos em que a função é positiva ou negativa.
d) esboce um gráfico.

Answer 1

a) Raízes são onde a função assume o valor zero:
$\displaystyle f(x)=-x^2+10x-21\implies 0=-x^2+10x-21\implies\\\\ X\limits_{'}^{''}=\frac{-10\pm\sqrt{100-4.-21.-1}}{-2}= \left \{ {{x'=\frac{-10+4}{-2}=3} \atop {x''=\frac{-10-4}{-2}=7}} \right.$

b) para calcular o valor do vértice devemos saber o ponto crítico da função, onde sua derivada é 0: $\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)=-2x+10\implies -2x+10=0\implies -x=-\frac{10}{2}=-5\implies\\\\x=5$
agora é só substituir na função original:
$f(5)=-5^2+10.5-21=-25+50-21=4$ o vértice é o ponto (5, 4)

c) Sabemos que a função se anula em 3 e 7. O sinal de uma função contínua sempre muda após ela passar pelo zero:
vamos ver o valor que a função assume em 4, 2 e em 6 e 8:
$f(2)=-2^2+10.2-21=-4+20-21=-25+20=-5\\\\f(4)=-4^2+10.4-21=-16+40-21=3\\\\f(6)=-6^2+10.6-21=-36+60-21=3\\\\f(8)=-8^2+10.8-21=-64+80-21=-5$
percebeu? se o valor estiver entre 3 e 7 a função é positiva, se estiver abaixo de três ou acima de 7 é negativa:
$f>0\ \forall x\in(3,7)\\\\f<0\ \forall x\in(-\infty,3)\cup(7,+\infty)$