Question

Dada a função f(x) = (x² + 1) (x³ - 2) o valor de f'(-1) é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 12
e) 16
f) 42

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de derivadas.

Seja a função $f(x)=(x^2+1)\cdot(x^3-2)$. Buscamos o valor de $f'(-1)$.

Primeiro, expandimos o produto aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

$f(x)=x^5-2x^2+x^3-2$

Reorganizamos os termos

$f(x)=x^5+x^3-2x^2-2$

Então, calculamos a derivada da função:

$(f(x))'=(x^5+x^3-2x^2-2)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função resulta em: $(c\cdot g(x))'=c\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da soma

$f'(x)=(x^5)'+(x^3)'+(-2x^2)'+(-2)'$

Aplique as regras da constante

$f'(x)=(x^5)'+(x^3)'-2\cdot(x^2)'+0$

Aplique a regra da potência

$f'(x)=5\cdot x^{5-1}+3\cdot x^{3-1}-2\cdot2\cdot x^{2-1}$

Some os valores no expoente e multiplique os valores

$f'(x)=5\cdot x^{4}+3\cdot x^{2}-2\cdot2\cdot x^{1}\\\\\\ f'(x)=5x^4+3x^2-4x$

Então, calcule o valor da derivada desta função no ponto $x=-1$

$f'(-1)=5\cdot(-1)^4+3\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$f'(-1)=5\cdot 1 + 3\cdot1+4\\\\\\ f'(-1)=5+3+4\\\\\\ f'(-1)=12$

Este é o resultado que buscávamos e é a resposta contida na letra d).