Question

Dada a função f (x) = x/x+1 - 1/2x-3 calcule:

x de modo que f (x) = -1/3

queria uma resolução comentada dessa questão, pois cheguei em uma parte que acabei empacando :
vou deixar abaixo a parte em que parei na conta..

gostaria de saber se posso simplificar isso ou vou ter que acabar na fórmula de bhaskara ( foi o método que fiz)

Answer 1

Tenha em mente que em uma EQUAÇÃO podemos multiplicar e dividir todos os termos da mesma sem alterar o valor:
Ex:4x² + 16x + 16 = 0     dividindo tudo por 4
x² + 4x + 4 = 0      (perceba que o valor de x não se altera)
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Tenso isso em mente:  
f (x) = x/x+1 - 1/2x-3                           f (x) = -1/3     substituindo:
-1/3 = x/(x+1) - (1/(2x-3))           multiplique toda a equação por 3
-1 = 3x/(x+1) - (3/(2x-3))            MMC (x+1),(2x-3) = (x+1)(2x-3)
(-1.(x+1)(2x-3))/((x+1)(2x-3)) = (3x(2x-3))/((x+1)(2x-3)) - 3(x+1)/((x+1)(2x-3))

Corte todos os denominadores: 
-1.(x+1)(2x-3) = (3x(2x-3)) - 3(x+1)        
faça as distributivas:
-1.(2x² - 3x + 2x - 3) = (6x² - 9x) - 3x - 3
- 2x² + 3x - 2x + 3 = 6x² - 9x - 3x - 3        
- 2x² + x + 3 = 6x² - 12x - 3                   passe tudo para o mesmo lado:
- 2x² - 6x² + x + 12x + 3 + 3 = 0
- 8x² + 13x + 6 = 0        multiplique por -1                           

8x² - 13x - 6 = 0

 Bhaskara:
Δ = b² - 4ac
Δ = -13²  - 4.8. -6
Δ = 169 + 192
Δ = 361

x = -b +/- √Δ  /2a
x = -(-13) +/- √361 / 2.8
x = 13 +/- 19 /16

x1 = 13 + 19 /2 =   32/16 = 2
x2 = 13 - 19 /2 =    -6/16 = -3/8
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Prova real:

f (x) = x/x+1 - 1/2x-3
f(2) = 2/(2+1)  -1/(2.2 - 3)
f(2) = 2/3 - 1/(4-3)
f(2) = 2/3 - 1/1
f(2) = 2/3 - 3/3
f(2) = -1/3

f(-3/8) = (-3/8)/(-3/8 +1)  -1/(2.(-3/8) - 3)
f(-3/8) = (-3/8)/(5/8) - 1/(-6/8 - 24/8)
f(-3/8) = (-3/8) . (8/5) - 1/(-30/8)
f(-3/8) = (-3/1) . (1/5) - 1 . (-8/30) 
f(-3/8) = -3/5 + 8/30
f(-3/8) = - 3/5 + 4/15         igualando os denominadores:
f(-3/8) = - 9/15 + 4/15
f(-3/8) = -5/15
f(-3/8) = -1/3

Bons estudos