Question

Dada a função f(x)=(x+1)/tgx , calcule a derivada correspondente.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = \frac{(x + 1)}{tan x}$

A questão nos pergunta qual a derivada dessa função, para isso vamos observar que podemos interpretar aquela fração como a divisão de duas funções $\sf \frac{g(x)}{h(x)}$, então se temos a divisão de duas funções e queremos saber a derivada do todo, basta utilizar a regra do quociente, dada por:

$\boxed{ \sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{ \frac{d}{dx} [g(x)] .h(x) - g(x). \frac{d}{dx}\left[h(x)\right]}{\left[g(x) \right] {}^{2} } }$

Digamos que a função f e g sejam respectivamente: $\sf g(x) = x + 1 \:\:\: e \:\:\: h(x) = tan x$, substituindo os dados na relação:

$\sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{ \frac{d}{dx} [ (x + 1)].tan x - (x + 1). \frac{d}{dx} [tan x] }{ [tan x] {}^{2} }$

Vamos derivar as funções separadamente, para que fique mais claro o desenvolvimento.

• Para derivar essa expressão $\sf \frac{d}{dx} (x + 1)$, será necessário que você lembre algumas regras das derivadas, como por exemplo a regra da potência e a derivada de uma constante.

→ Regra da potência:

É dada pela transferência do expoente multiplicando o coeficiente da parte literal e a subtração de uma unidade no expoente que foi transferido, para um melhor entendimento, basta observar a sua relação:

$\boxed{\sf \frac{d}{dx} x {}^{n} = n.x {}^{n - 1} }$

→ Derivada de uma constante:

A derivada de uma constante é sempre igual a "0", já que a derivada é uma variação bem pequena e se a tal coisa é constante quer dizer então que ela não varia.

$\boxed{ \sf \frac{d}{dx} r = 0 \rightarrow \scriptsize{sendo \: r \: uma \: constante} }$

Aplicando essa regra, vamos ter que:

$\sf \frac{d}{dx} (x + 1) = \frac{d}{dx} x +0 = 1.x {}^{1 - 1} = 1$

• Já para a derivada da função do denominador, devemos saber que derivada da tangente é igual a:

$\boxed{ \sf \: \frac{d}{dx} tan \underbrace{x}_{u}= sec {}^{2} x. \frac{du}{dx} }$

Aplicando, temos que:

$\sf\frac{d}{dx} (tanx) = sec {}^{2} x$

Substituindo todas essas informações na relação:

$\sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{1.tan(x) - (x + 1).sec {}^{2}x }{(tanx) {}^{2} } \\ \\ \boxed{\sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{g(x)}{h(x)} \right] = \frac{tan(x) - xsec {}^{2}x - sec { }^{2}x }{(tanx) {}^{2} } }$

Espero ter ajudado