Question

Dada a função f(x) = $\frac{8x^{3} - 5x^{2} + x -7}{2x^{3} + x^{2} - 4x + 5}$ determine, se existir, o limite $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \frac{8x^{3} - 5x^{2} + x -7}{2x^{3} + x^{2} - 4x + 5}$

A questão nos pede para calcularmos o limite dessa função, quando "x" tende ao infinito positivo.

$\lim_{x \to +\infty} f(x) \longleftrightarrow \lim_{x \to +\infty} \frac{8x^{3} - 5x^{2} + x -7}{2x^{3} + x^{2} - 4x + 5}$

A primeira coisa que devemos fazer ao calcular um limite, é substituir o valor a qual o "x" tende, ou seja, substituir no local de "x" a grandeza "infinito positivo" .

$\frac{8.( \infty ) {}^{3} - 5.( \infty ) {}^{2} + \infty - 7 }{2.( \infty ) {}^{3} + ( \infty ) {}^{2} - 4.( \infty ) + 5 } \\ \\ \frac{ \infty - \infty + \infty }{ \infty + \infty - \infty } = \frac{ \infty - \infty }{ \infty - \infty } \: \: \: \: \: \:$

Surgiu uma indeterminação, já que não sabia quanto é infinito menos infinito, então devemos fazer alguma manipulação algébrica que suma coma essa tal indeterminação.

• Temos duas fórmulas de remover essa indeterminação, a primeira é através do algebrismo e a segunda é através da regra de L'Hôpital.

1) Através do Algebrismo:

• Para encontrar o valor do limite por este método, devemos dividir todos os elementos pelo termo de maior grau, ou seja, x³:

$\frac{ \frac{8x {}^{3} }{x {}^{3} } - \frac{5 {x}^{2} }{x {}^{3} } + \frac{x}{x {}^{3} } - \frac{7}{ {x}^{3} } }{ \frac{2x {}^{3} }{x {}^{3} } + \frac{x {}^{2} }{x {}^{3} } - \frac{4x}{x {}^{3} } + \frac{5}{x {}^{3} } } \\ \\ \frac{8 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x {}^{2} } - \frac{7}{x {}^{3} } }{2 + \frac{1}{x} - \frac{4}{x {}^{2} } + \frac{5}{x {}^{3} } } \: \: \: \: \:$

Agora vamos lembrar do seguinte Teorema dos limites infinitos: Seja "n" um número natural, temos então que: $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^{n}}=0$, aplicando:

$\frac{8 - 0 + 0 - 0}{2 + 0 - 0 + 0} = \frac{8}{2} = 4$

Portanto podemos concluir que:

$\boxed{\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{8x^{3} - 5x^{2} + x -7}{2x^{3} + x^{2} - 4x + 5} = 4 }}$

2) Através da regra de L'Hôpital:

• Para aplicar essa regra, devemos ter indeterminacoes do seguinte tipo:

$\boxed{\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \: \: ou \: \:\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty }$

Se temos uma indeterminação desse tipo, devemos aplicar a derivada em cima e em baixo, vulgo numerador e denominador.

$\boxed{\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to a} \frac{ \frac{d}{dx} [f(x)] }{ \frac{d}{dx} [g(x)] } }$

Aplicando a derivação no numeador e denominador:

$\frac{8x {}^{3} - 5x {}^{2} + x - 7 }{2x {}^{3} + x {}^{2} - 4x + 5} \\ \\ \frac{24x {}^{2} - 10x + 1}{6x {}^{2} + 2x - 4 } \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{48x - 10}{12x + 2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{48}{12} = 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Eu derivei a função várias vezes pelo motivo de que se eu derivasse apenas uma vez e substituísse o valor de "x", ainda manteria-se a indeterminação.

Espero ter ajudado