Question

Dada a função F(x) =$\frac{-4x^3-7}{x+2}$, determine as assintotas verticais e horizontais, caso existam:

Answer 1

Seja $F: D \to \mathbb{R}$ a função dada por:

$F(x) = \dfrac{-4x^3 - 7}{x+2}.$

A primeira coisa que faremos é calcular o domínio $D$, pois essa informação é necessária para determinar assíntotas verticais. Como $F$é dada pelo quociente entre dois polinómios, está definida para todos os valores reais de $x$que não anulem o denominador. Assim:

$D = \{x \in \mathbb{R}: x + 2 \neq 0\} = \{x \in \mathbb{R}: x \neq -2\} = \mathbb{R}\setminus\{-2\}.$

Como $F$ não está definida para $x=-2$, poderá ter uma assíntota vertical de equação $x=-2$. Verifiquemos então que assim é calculando os limites laterais neste ponto:

$\lim\limits_{x \to -2^+} \dfrac{-4x^3 - 7}{x+2} = \dfrac{-4 \times (-2)^3 - 7}{-2^+ + 2} = \dfrac{-4 \times (-8) - 7}{0^+} = \dfrac{32-7}{0^+} = \dfrac{25}{0^+} = \infty.$

$\lim\limits_{x \to -2^-} \dfrac{-4x^3 - 7}{x+2} = \dfrac{-4 \times (-2)^3 - 7}{-2^- + 2} = \dfrac{-4 \times (-8) - 7}{0^-} = \dfrac{32-7}{0^-} = \dfrac{25}{0^-} = -\infty.$

Como os limites são ambos infinitos, $x=-2$ é uma assíntota vertical (bilateral) da função $F$.

Como $F$ está definida para todos os outros valores reais, não existem mais assíntotas verticais.

Para verificar se $F$ tem assíntotas horizontais, teremos de calcular os limites de $F$ quando $x \to \pm \infty$:

$\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{-4x^3 - 7}{x + 2} \overset{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{- \not x\left(4x^2 + \frac{7}{x}\right)}{\not x\left( 1 + \frac{2}{x}\right)} = -\dfrac{\infty + 0}{1 + 0}  = -\infty.$

$\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{-4x^3 - 7}{x + 2} \overset{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{- \not x\left(4x^2 + \frac{7}{x}\right)}{\not x\left( 1 + \frac{2}{x}\right)} = -\dfrac{\infty + 0}{1 + 0}  = -\infty.$

Como ambos os limites quando $x \to \pm \infty$ são ambos infinitos, $F$ não possui assíntotas horizontais.