Question

Dada a função f(x) , $\frac{2x}{4x-1}$ encontre as assíntotas horizontal e vertical. A seguir, confirme o que você concluiu observando o gráfico abaixo:

Answer 1

Resposta:

Assíntota horizontal: y= 1/2

Assíntota vertical: x= 1/4

Explicação passo-a-passo:

Vide foto em anexo.

Abs :)

Answer 2

Seja $f: D \to \mathbb{R}$ a função dada por:

$f(x) = \dfrac{2x}{4x-1}.$

Como a função é dada pelo quociente de dois polinómios, o seu domínio corresponde ao conjunto dos números reais que não anulem o denominador, ou seja:

$D = \{x \in\mathbb{R}:  4x - 1 \neq 0\} = \left\{x \in \mathbb{R}: x \neq \dfrac{1}{4}\right\} = \mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{1}{4}\right\}$

Temos então a reta de equação $x = \dfrac{1}{4}$ como candidata a assíntota vertical de $f$. Temos então:

$\lim\limits_{x \to \frac{1}{4}^+} = \dfrac{2x}{4x - 1} = \dfrac{2 \times \frac{1}{4}}{4\times\frac{1}{4}^+-1} = \dfrac{\frac{1}{2}}{1^+ - 1} = \dfrac{\frac{1}{2}}{0^+} = \infty.$

$\lim\limits_{x \to \frac{1}{4}^-} = \dfrac{2x}{4x - 1} = \dfrac{2 \times \frac{1}{4}}{4\times\frac{1}{4}^--1} = \dfrac{\frac{1}{2}}{1^- - 1} = \dfrac{\frac{1}{2}}{0^-} = -\infty.$

Portanto, verificamos que a reta de equação $x= \dfrac{1}{4}$ é uma assíntota vertical bilateral do gráfico de $f$, tal como indicado pelo gráfico de $f$.

Para as assíntotas horizontais, calculamos os limites quando $x \to \pm \infty$:

$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x}{4x-1} = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2\not x}{4\not x\left(1 - \frac{1}{4x}\right)} = \dfrac{2}{4(1-0)} = \dfrac{1}{2}.$

$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{2x}{4x-1} = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{2\not x}{4\not x\left(1 - \frac{1}{4x}\right)} = \dfrac{2}{4(1-0)} = \dfrac{1}{2}.$

Concluímos então que a reta de equação $y = \dfrac{1}{2}$ é assíntota horizontal de $f$ para $x \to \pm \infty$, tal como indicado pelo gráfico de $f$.