Question

Dada a função f(x) = responda e justifique:
a) Existe f(−1)?

b) Existe $\lim_x \to \--1+} f(x)?$

c) Existe $\lim_{x \to \--1-} f(x)?$

d) A função é contínua em x = −1?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Continuidade de funções

Dada a função :

$\sf{f(x)~=~} \begin{cases} \sf{ x^2-1~,~se~ -1\leq x \leq 0 } \\ \\ \sf{2x~,~se~0 <x <1} \\ \\ \sf{1~,~se~x = 1} \\ \\ \sf{-2x~,~se~1 <x <2} \\ \\ \sf{0~,se~2 <x <3} \end{cases}$

A) Questão :

• Existe f(-1)

• Resposta:
• NB: A Questão quer na verdade saber se existe a função no ponto x = -1 .
• pela leitura da função podemos dizer que sim , pois quando o x = -1 a função vale $\sf{x^2-1}$ , sendo assim podemos ter que :

$\iff \sf{ f(-1)~=~(-1)^2-1 }$

$\red{ \iff \boxed{ \sf{ f(-1)~=~0 } } \checkmark }$

B) Questão :

• Existe $\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}}\sf{f(x)}$

• Resposta :

• Pela leitura da função quero saber se existe o limite quando o x se aproxima do -1 pelo valores maiores que menos -1 .
• Para tal vamos usar a função $\sf{x^2-1}$ . Ou seja :

$\iff \displaystyle\lim_{x \to -1^{+}}(x^2-1)~=~(-1^{+})^2-1=1-1=0$

• Asdim podemos responder que sim existe e que vale 0.

C) Questão :

• Existe o $\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}}f(x)$
• Agora queremos saber se existe o limite da função a esquerda do -1 ( pelos valores menores que -1 ) .
• Pelo leitura do grafico não temos s função para x < -1 .
• Então não pode existir o limite .

D) A função é contínua em x = -1 ??

• Para uma função ser contínua num certo ponto a deve cumprir todas etapas respondidas acima , ou seja :

$\boxed{ \displaystyle\lim_{x \to -1^{-}}f(x) = \displaystyle\lim_{x \to -1^{+}}f(x) = f(-1) }$

• Perceba que no questionário a,b e c a igualdade acima não foi satisfeita pelo facto de não termos o limite a esquerda do -1 .
• Assim sendo a função não é contínua no ponto x = -1 .

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ESPERO TER AJUDADO BASTANTE

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