Question

Dada a função f(x) = e×:

(a) Determine a aproximação linear da função dada em x = 0
(b) Use o item (a) para estimar o valor de e −0,03 até a segunda casa decimal.

Answer 1

(a) A aproximação linear da função f(x) em torno de x = 0 é dada por

   f(x) = 1 + x

(b) O valor de $e^{-0,03}$ é aproximadamente 0,97.

Explicação passo a passo:

(a) Para obter uma aproximação linear da função f(x) em torno do ponto x = 0, calculamos a inclinação da curva de f(x) no ponto x = 0 e traçamos a reta que tem essa inclinação e passa pelo ponto (0,f(0)) = (0,1), conforme a figura abaixo.

Mas a inclinação da curva f(x) é dada pela derivada f'(x):

f'(x) = $e^x$

No ponto x=0, f'(x) = f'(0) = 1.

A equação da reta é dada então por:

f(x)-f(0) = f'(0)*(x-0)

=> f(x) - 1 = 1 * x = x

= f(x) = 1 + x

(b) Usando o item (a), calculamos f(-0,03) = $e^{-0,03}$:

$e^{-0,03} = 1 - 0,03 = 0,97$

Portanto, o valor aproximado de $e^{-0,03}$ com duas casas decimais é 0,97.