Question

Dada a função f(x)=det [ cos(x) sen(x) 1 ], pode se afirmar que f (π) é igual a:
[cos(x) -1 sen(x)]
[1 0 0 ]

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Answer 1

Vamos utilizar a Regra de Sarrus para calcular o determinante desta matriz. Antes de fazer qualquer coisa, repetimos ao lado da matriz a primeira e a segunda coluna, como você pode observar abaixo:

$\left[\begin{array}{ccc}cosx&senx&1\\cosx&-1&senx\\1&0&0\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}cosx&senx&\\cosx&-1&\\1&0&\end{array}\right]$

Multiplicando as 3 primeiras diagonais para baixo fica:

cosx*(-1)*0 + senx*senx*1 + 1*cosx*0

Multiplicando as outras 3 diagonais para cima fica:

1*(-1)*1 + 0*senx*cosx + 0*cosx*senx

Agora, nós repetimos a primeira expressão e subtraímos de TODA A OUTRA EXPRESSÃO, fica assim:

cosx*(1)*0 + senx*senx*1 + 1*cosx*0 - (1*(-1)*1 + 0*senx*cosx + 0*cosx*senx) =

= 0 + sen²x + 0 + 1 - 0 - 0 = sen²x + 1

Logo: f(x) = sen²x + 1

f(π) = sen²π + 1

Como sen π = sen 180° = 0

vem:

f(π) = sen²π + 1 = 0² + 1 = 1

Portanto: f(π) = 1 ;