Question

Dada a função f(x) = (5x³ - 3x²+ 1)³ + sen (x²) + sen²x, calcular f’(x)

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Temos que $f(x)=(5x^{3}-3x^{2} +1)^{3}+\sin(x^{2} )+\sin^{2}x$

Calculando a derivada de $f(x)$:

$\dfrac{df}{dx}=f'(x)=\dfrac{d}{dx} [(5x^{3}-3x^{2} +1)^{3}+\sin(x^{2} )+\sin^{2}x]$

A derivada da soma é igual a soma das derivadas.

$f'(x)=\dfrac{d}{dx} (5x^{3}-3x^{2} +1)^{3}+\dfrac{d}{dx} \sin(x^{2} )+\dfrac{d}{dx} \sin^{2}x$

Calculando as derivadas:

$\dfrac{d}{dx} (5x^{3}-3x^{2} +1)^{3}$

Utilizando a regra da cadeia:

$\dfrac{d}{dx} (5x^{3}-3x^{2} +1)^{3}=3.(5x^{3}-3x^{2} +1)^{2}.(15x^{2} -6x)$

$\dfrac{d}{dx} \sin(x^{2} )$

Utilizando a regra da cadeia:

$\dfrac{d}{dx} \sin(x^{2} )=2.x.\cos(x^{2} )$

$\dfrac{d}{dx} \sin^{2} (x )=\dfrac{d}{dx} \sin(x).\sin(x)$

Utilizando a regra do produto:

$\dfrac{d}{dx} \sin^{2}x=\cos(x). \sin(x)+\cos(x).\sin(x) \\\\\dfrac{d}{dx} \sin^{2}x=2.\sin(x).\cos(x)$

Juntando as derivadas:

$f'(x)=3.(5x^{3}-3x^{2} +1)^{2}.(15x^{2} -6x)+2x.\cos(x^{2} )+2.\sin(x).\cos(x)$