Question

Dada a função f(x) = 3x + 5 determine o volume do sólido de revolução no intervalo x=0 a x=5. O gráfico da função está representando pela figura abaixo .​

Answer 1

Creio que a função "y" seja dada por y = 3x, pois se formos escrever a reta 3x + 5 no gráfico, teremos que a mesma ficará na parte negativa do plano cartesiano, por este motivo considerarei que seja y = 3x. Seguindo a mesma lógica da questão anterior, sabemos que a função é delimitada pelas funções x, ou seja, devemos rotacionar a área formada abaixo da função y = 3x, no intervalo de 0 à 5. (A rotação estará a anexada, mesmo que a questão já forneça).

→ Veja que a rotação formou uma espécie de cone que podemos dividi-lo em infinitos pequenos cilindros, já que trata-se de uma soma de infinitas parte, temos então um caso de integral. Tal integral pode ser escrita como:

$\boxed{ \boxed{ \sf V = \int_{a}^{b}v_{cilindro}}}$

Expandindo a fórmula do cilindro que é dada pela multiplicação da área da base pela altura:

$\sf V = \int_{a}^{b}Ab . h$

A área da base de um cilindro é igual a área de um círculo, ou seja:

$\sf V = \int_{a}^{b} \pi.r {}^{2} .h$

O raio é representado pela função e a altura é representada pela diferencial de x:

$\boxed{\boxed{ \sf V = \pi.\int_{a}^{b} [f(x)] {}^{2}.dx } }$

Agora vamos substituir os dados que possuímos, que são os limites de integração e a função:

$\sf V = \pi\int_{0}^{5}(3x ) {}^{2} dx \longleftrightarrow V = \pi\int_{0}^{5}9x {}^{2} dx$

Vamos remover o número 9 da integral, já que constantes transitam livremente para dentro e fora da integral:

$\sf V =9 \pi\int_{0}^{5}x {}^{2} dx$

Para integrar a função x², devemos usar a regra da potência das integrais, dada pela seguinte relação:

$\boxed{ \boxed{ \sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} }}$

Aplicando essa regra:

$\sf V = 9\pi. \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} \begin{array}{c|c}& \sf5 \\ \\ & \sf0 \end{array} \longleftrightarrow \sf V = 9\pi \frac{x {}^{3} }{3} \begin{array}{c|c}&5 \\ \\ &0 \end{array} \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \: \: \sf V = \frac{9}{3} x {}^{3} \begin{array}{c|c}&5 \\ \\ &0 \end{array} \longleftrightarrow V = 3\pi x {}^{3} \begin{array}{c|c}&5 \\ \\ &0 \end{array}$

Para finalizar a questão basta aplicar o Teorema fundamental do cálculo:

$\sf \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) \\ \\ \sf F(b) - F(a) = \begin{array}{c|c}& \sf b \\ \\ & \sf a \end{array} \: \: \: \: \:$

Aplicando o tal Teorema:

$\sf V = 3\pi.5 {}^{3} - 3\pi.0 \\ \sf V = 3\pi.125 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{ \sf V = 375\pi \: \: u.v} \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado