Question

Dada a função f(x) = 32x-5, marque a alternativa que apresenta a derivada f´(x) corretamente.

Answer 1

$\large\begin{array}{l} \textsf{Dada a fun\c{c}\~ao}\\\\ \mathsf{f(x)=3^{2x-5}}\\\\ \textsf{encontrar a sua derivada, isto \'e, encontrar }\mathsf{f'(x).} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Vamos reescrever de forma conveniente a lei da fun\c{c}\~ao:}\\\\ \mathsf{f(x)=3^{2x-5}\qquad}\textsf{(mas }\mathsf{3=e^{\ln 3}}\textsf{)}\\\\ \mathsf{f(x)=(e^{\ln 3})^{2x-5}}\\\\ \mathsf{f(x)=e^{{\ln 3}\,\cdot\,(2x-5)}}\\\\ \mathsf{f(x)=e^{{(2\ln 3)x-5\ln 3}}} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Podemos enxergar f como sendo uma fun\c{c}\~ao composta:}\\\\ \left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{f(x)=e^{g(x)}}\\\\ \mathsf{g(x)=(2\ln 3)x-5\ln 3} \end{array} \right. \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Derivamos f usando a Regra da Cadeia:}\\\\ \mathsf{f'(x)=(e^{g(x)})'}\\\\ \mathsf{f'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x)}\\\\ \mathsf{f'(x)=f(x)\cdot g'(x)}\\\\ \mathsf{f'(x)=3^{2x-5}\cdot [(2\ln 3)x-5\ln 3]'}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{f'(x)=3^{2x-5}\cdot (2\ln 3)} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.} \end{array}$


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$\large\textsf{Bons estudos! :-)}$


Tags: derivada função composta exponencial logaritmo regra da cadeia cálculo diferencial