Question

DADA A FUNÇÃO F(X)= 2X² + 7X + 6, QUAL O COEFICIENTE QUE DETERMINA A CONCAVIDADE DA PARÁBOLA?

Answer 1

A concavidade do gráfico de uma função em um certo intervalo é determinada pelo sinal da segunda derivada da função, que representa a taxa de variação do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f (taxa de variação da derivada)

Se f''(x) > 0 num intervalo, o gráfico de f tem concavidade voltada para cima nesse int.
Se f''(x) < 0 num intervalo, o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo nesse int.
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$f(x)=2x^{2}+7x+6\\\\f'(x)=2\cdot2x^{2-1}+7\cdot1x^{1-1}+0\\\\f'(x)=4x+7$

Derivando novamente:

$f''(x)=4\cdot1x^{1-1}+0\\\\f''(x)=4$

f''(x) = 4 > 0 para todo x pertencente ao domínio (R) da função, portanto, o gráfico de f (parábola) possui concavidade voltada para cima
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Em geral, o coeficiente 'a' da função $f(x)=ax^{2}+bx+c$ determina a concavidade da parábola. Veja:

$f'(x)=a\cdot2x^{2-1}+b\cdot1x^{1-1}+0\\\\f'(x)=2ax+b$

Achando a segunda derivada:

$f''(x)=2a\cdot1x^{1-1}+0\\\\f''(x)=2a$

Logo:

$f''(x)\ \textgreater \ 0~~~\therefore~~2a~\textgreater~0~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{a~\textgreater~0}}\\\\f''(x)\ \textless \ 0~~~\therefore~~~2a~\textless~0~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{a~\textless~0}}$

Se a > 0, então a parábola tem concavidade voltada para cima
Se a < 0, então a parábola tem concavidade voltada para baixo

Como a = 2 > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima (como visto anteriormente)

Answer 2

Sem derivadas
Sem integrais
Sem complicação

Analisando o termo que acompanha o quadrado

Se esse termo for POSITIVO a concavidade é para CIMA
Se esse termo for NEGATIVO a concavidade é para BAIXO

Exemplo
f(x)= -2x² + 3
Tem o termo acompanhando x² NEGATIVO(-2), portanto a concavidade é para BAIXO

Exemplo 2
f(x) = 3x² - 2x - 4
O termo que acompanha o quadrado é POSITIVO (+3), portanto a concavidade é para CIMA

Não faz sentido explicar derivadas pra voce para ensino fundamental ou ensino médio com esse tipo de conteúdo

Não vamos dificultar onde não há dificuldade!

Ik_Lob