Question

Dada a função f(x) 2x+2/ x^2-3x-4, Lim de f(x) com x tendendo a -1 existe ? Justifique. E determine os limites laterias

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \frac{2x + 2}{x {}^{2} - 3 x- 4 }$

Agora vamos calcular o limite dessa função quando "x" tender a 1, então:

$\lim_{x\to - 1} \frac{2x + 2}{x {}^{2} - 3x - 4}$

A questão quer saber se esse limite existe, ou seja, devemos provar através dos limites laterais:

$\lim_{x\to a {}^{ + } } f(x)= \lim_{x\to a {}^{ - } }f(x) \\ \\ \lim_{x\to - 1 {}^{ + } } \frac{2x + 2}{x {}^{2} - 3x - 4 } = \lim_{x\to - 1 {}^{ - } } \frac{2x + 2}{x {}^{2} - 3x - 4 }$

Fatorando a expressão do numerador e denominador, temos que:

$\lim_{x\to - 1 {}^{ + } } \frac{2.(x + 1)}{(x - 4).(x + 1)} = \lim_{x\to - 1 {}^{ - } } \frac{2.(x + 1)}{(x - 4).(x + 1)} \\ \\ \lim_{x\to - 1 {}^{ + } } \frac{2}{x - 4} = \lim_{x\to - 1 {}^{ - } } \frac{2}{x - 4}$

Substituindo o valor a qual "x" tende:

$\lim_{x\to - 1 {}^{ + } } \frac{2}{ - 1 - 4} = \lim_{x\to - 1 {}^{ - } } \frac{2}{ - 1 - 4} \\ \\ \boxed{\frac{2}{ - 5} =\frac{2}{ - 5} }$

O limite de fato existe, pois os limites laterais são iguais.

Espero ter ajudado