Question

Dada a função f(x)=1/x(x+1) o valor de f(1)+f(2)+...+f(1000) é:

Answer 1

Resposta:

$\frac{1000}{1001}$

Explicação passo-a-passo:

$f(x)=\frac{1}{x(x+1)}$

$\frac{1}{x(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}$

Vamos agora determinar a e b

$\frac{1}{x(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}=\frac{a(x+1)+bx}{x(x+1)}=\frac{ax+a+bx}{x(x+1)}=\frac{(a+b)x+a}{x(x+1)}$

Por comparação temos que:

a=1

e

a+b=0 => b=-a => b= -1  subtituindo esses valores teremos:

$f(x)=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$

$f(1)=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\\\\f(2)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\\\f(3)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$

*

*

*

$f(998)=\frac{1}{998}-\frac{1}{999}\\\\f(999)=\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}\\\\f(1000)=\frac{1}{1000}-\frac{1}{1001}$

Agora somando tudo

$f(1)+f(2)+...+f(1000)=1-\frac{1}{1001}=\frac{1001-1}{1001}=\frac{1000}{1001}$