Question

Dada a função f(x) = 1 / x(x−1)

(c) Calcule e estude o sinal de f′(x);

(d) Calcule e estude o sinal de f′′(x).

Alguém me ensina a fazer isso, pelo amor de Deus!

Answer 1

$f(x)=\frac{1}{x(x-1)}$

Antes de determinar tudo é necessário saber o domínio da função.

A função f não pode ter o denominador ZERO, pois 1/0 = ∞ (Infinito). Logo,

Dom(f) = x(x-1) ≠ 0 → Dom(f) = [x≠0 e x-1≠0 ∴ x≠1]

Dom (f) = ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) ∪ ( 1 , ∞ )

Agora, vamos organizar a função para que seja mais fácil aplicar as técnicas de derivação

$f(x)=\frac{1}{x^{2}-x }$

$f(x)=(x^{2} -x)^{-1}$

C) Para calcular crescimento e decrescimento utilizamos a primeira derivada.

Para derivar essa função será necessário aplicar a regra da cadeia, cuja definição é:

$f(x)=u^{n}  -> f'(x)=n*u^{n-1} *u'$

Aplicando a regra da cadeia:

$f'(x)=-1*(x^{2} -x)^{-2} *(2x-1)$

$f'(x)= \frac{-2x+1}{(x^{2} -x)^{2} }$

Estudando o sinal de f'(x), como (x²-x)² > 0 (Sempre maior que zero, pois, é elevado ao quadrado), precisamos apenas estudar o sinal de -2x+1> e -2x+1<0.

-2x + 1 > 0 ∴ -2x *(-1) > -1 *(-1) ∴ 2x < 1 ∴ x < 1/2 (CRESCENTE)

-2x + 1 < 0 ∴ -2x *(-1) < -1 *(-1) ∴  2x > 1 ∴ x > 1/2 (DECRESCENTE)

f é crescente em ( -∞ ,  0 ) e em ( 0 , 1/2 ], pois, f'(x)>0 para todo x ∈ ( -∞ ,  0 ) ∪ ( 0 , 1/2 )

f é decrescente em [ 1/2 , 1 ) e em ( 1 , +∞ ), pois, f'(x)>0 para todo x ∈ ( 1/2 , 1 ) ∪ ( 1 , +∞)

B) Para calcular concavidade utilizamos a segunda derivada.

Arrumando a f'(x)

$f'(x) = (-2x+1)*(x^{2} -x)^{-2}$

Para esta função será necessário aplicar a regra do produto, cuja regra é:

$f(x) = u(m) * v(n) -> f'(x) = u'*v + u*v'$

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia onde for necessário:

$f"(x)= 2*(x^{2} -x)^{-2} +(2x-1)*(-2)*(x^{2} -x)^{-3} *(2x)*2\\\\f"(x)=2*(x^{2} -x)^{-2} -4*(2x-1)*(x^{2} -x)^{-3}\\\\f"(x)=\frac{2+4*(2x-1)*(x^{2}-x) }{(x^{2}-x)^{2}  }$

Como ( x² - x )² > 0, precisamos estudar apenas o sinal de ( x² - x ) e ( 2x - 1 ). Logo:

x² - x > 0 → x( x - 1 )>0 → x>0 e (x - 1)>0 ∴ x>1  (POSITIVO)

x² - x < 0 → x( x - 1 )<0 → x<0 e (x - 1)<0 ∴ x<1 → 0<x<1 (NEGATIVO)

2x - 1 > 0 → 2x > 1 → x>1/2 (POSITIVO)

2x - 1 < 0 → 2x < 1 → x<1/2 (NEGATIVO)

Sinal (x²-x)  [ -∞ + + + 0 - - - - - - - - -  1 + + + + + ∞ ]

Sinal (2x-1)  [  -∞ - - -  0  - - - 1/2 + + + 1 + + + + + ∞ ]

Sinal f"(x)    [ -∞ - - - - 0 + + + 1/2 - - - - 1 + + + + + ∞ ]

f é côncava p/ cima em (0 , 1/2] e em ( 1 , +∞ ), pois, f"(x)>0 para todo x ∈ (0 , 1/2) ∪ ( 1 , +∞ )

f é côncava p/ baixo em ( -∞ , 0) e em [ 1/2 , 1 ), pois, f"(x)<0 para todo x ∈ ( -∞ , 0) ∪ ( 1/2 , 1 )