Question

Dada a função f definida por f(x) = x² + 4x – 21a) esboce o gráfico destacando os pontos (zeros da função,vértice, ponto que o gráfico intercepta o eixo Oy)]b) Em qual intervalo a função é crescente?c) Em qual(is) intervalo(s) a função é positiva ?

Answer 1

a) zeros da função:
$\displaystyle f(x)=x^2+4x-21\\\\x^2+4x-21=0\implies X=\frac{-4\pm\sqrt{100}}{2}= \left \{ {{x'=\frac{-4+10}{2}=\frac{6}{2}=3\ \ \ \ \ \ } \atop {x''=\frac{-4-10}{2}=\frac{-14}{2}=-7}} \right.$

b) é crescente onde o sinal da primeira derivada é positivo e decrescente onde é negativa.
1) calcular derivada:
$\displaystyle \frac{d}{dx}x^2+4x-21=2x+4$

2) calcular ponto crítico:
$\displaystyle \frac{d}{dx}=0\\\\2x+4=0\implies 2x=-4\implies x=-\frac{4}{2}=-2$

3) estudar onde é negativa e onde é positiva:
$f'<0,\ \forall x\in(-\infty,-2)\\\\f'>0,\ \forall x\in(-2,+\infty)$
ela é crescente para todo x maior que -2 e decrescente para todo x menor que -2.

c) $f>0,\ \forall x\in(-\infty,-2)\cup(6,+\infty)\\f<0,\ \forall x\in(-2,6)$
positivo para todo x menor que -2 ou maior que 6, e negativa para todo x entre -2 e 6.

d) ponto onde intercepta y, x = 0
$f(0)=0^2+4\cdot0-21=-21$
(0, -21)