Question

Dada a função ƒ: A em B, chama-se função inversa de ƒ, indicada por ƒ -¹(x), a função ƒ -¹ : B em A que associa cada y de B ao elemento x de A, tal que y = ƒ(x).

1) Apenas as funções bijetoras admitem função inversa.
2) Regra Prática para obtenção de uma Função Inversa:

Pensando nisso, dada as funções, f(x) = 5x e g(x) = 3x+2, calcule:

g-¹(x) + f(x)-¹ = 0.

Answer 1

$\mathrm{Seja}\ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\ \mathrm{tal\ que}\ f(x)=5x.$

$\mathrm{A\ fun\c{c}\tilde{a}o\ inversa\ de}\ f\ \mathrm{ser\acute{a}}\text{:}$

$f(x)=5x\Longrightarrow x=5f^{-1}(x)\ \therefore\ \boxed{f^{-1}(x)=\dfrac{x}{5}}$

$\mathrm{Seja}\ g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\ \mathrm{tal\ que}\ f(x)=3x+2.$

$\mathrm{A\ fun\c{c}\tilde{a}o\ inversa\ de}\ g\ \mathrm{ser\acute{a}}\text{:}$

$g(x)=3x+2\Longrightarrow x=3g^{-1}(x)+2\ \therefore\ \boxed{g^{-1}(x)=\dfrac{x-2}{3}}$

$\mathrm{A\ solu\c{c}\tilde{a}o\ para\ a\ express\tilde{a}o}\ f^{-1}(x)+g^{-1}(x)=0\ \mathrm{ser\acute{a}}\text{:}$

$f^{-1}(x)+g^{-1}(x)=0\Longrightarrow \dfrac{x}{5}+\dfrac{x-2}{3}=0$

$\Longrightarrow \dfrac{x}{5}=-\dfrac{x-2}{3}\Longrightarrow 3x=5(2-x)$

$\Longrightarrow 3x=10-5x\Longrightarrow 8x=10\ \therefore\ \boxed{x=\dfrac{5}{4}}$