Question

Dada a função: f(1) = 3 e f(x) = f( x - 1) + 1 para x > 1Mostre que a função é recursiva e determine 5 elementos da sequência da função dada.

Answer 1

 Olá!

Encontremos f(2):

$\\ f(x) = f(x - 1) + 1 \\ f(2) = f(2 - 1) + 1 \\ f(2) = f(1) + 1 \\ f(2) = 3 + 1 \\ f(2) = 4$

Encontremos f(3):

$\\ f(3) = f(2) + 1 \\ f(3) = 4 + 1 \\ f(3) = 5$

Encontremos f(4):

$\\ f(4) = f(3) + 1 \\ f(4) = 6$

(...)

Hipóteses de indução:

Se x = k - 1:

$\\f(k-1)=(k-1)+2\\f(k-1)=k+1$

Se x = k:

$\\ f(k) = k + 2$

 Devemos provar a tese de indução, ou seja, que se a recursividade é válida para $1 < x \leq k$, então será, também, para $x = k + 1$.

Tese de indução: $f(k + 1) = k + 3$.

 Segue:

$\\f(x)=f(x-1)+1\\\\f(k+1)=f(k+1-1)+1\\\\f(k+1)=\underbrace{f(k)}_{\text{hipotese}}+1\\\\ f(k + 1) = (k + 2) + 1 \\\\ \boxed{f(k + 1) = k + 3}$

 C.Q.D