Question

Dada a função anexa. Determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimos locais, ou como pontos de sela, quando for o caso.

Answer 1

$f(x,y)=9-2x+4y-x^2-4y^2$

1) Puntos estacionarios (o críticos), criterio de la primera derivada parcial

        $f_x=-2-2x=0\to x =-1\\ \\ f_y=4-8y=0\to y=\dfrac{1}{2}$

entonces el único punto crítico es $\left(-1,\dfrac{1}{2}\right)$

Ahora veamos qué tipo de punto es.

2) "concavidad", criterio de la segunda derivada parcial

                    $f_{xx}=-2\\f_{xy}=0=f_{yx}\\ f_{yy}=-8$

vemos que $\Delta_1=f_{xx}\ \textless \ 0$
luego 

$\Delta_2 =\left| \begin{matrix} f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy} \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} -2&0\\0&-8 \end{matrix} \right|=16$

Se deduce que $d^2f(x,y)\ \textless \ 0$ por lo tanto la concavidad de la superficie es hacia abajo. Por tal razón el punto $\left(-1,\dfrac{1}{2}\right)$ es un MÁXIMO