Question

Dada a figura abaixo, qual a medida da hipotenusa BC?





URGENTE!!!!​

Answer 1

Resposta:

$x = 30$

Explicação passo a passo:

Para resolver essa questão, o caminho mais intuitivo é utilizar as relações métricas no triângulo retângulo.

Modo 1.

No triângulo $ABH$, considere a medida do cateto $AH = y$, desta forma, por Pitágoras, temos

$AB^{2} = BH^{2} + AH^{2} \iff 8^{2} = 2^{2} + y^{2} \iff y^{2} = 64 - 4 = 60$

por outro lado, pelas relações métricas no triângulo retângulo, segue que

$AH^{2} = BH \cdot HC \iff y^{2} = 2\cdot x \iff x = \frac{y^{2}}{2} = \frac{60}{2} = 30$

Modo 2.

Considere $\alpha = A\hat{B}H$, então $\beta = B\hat{A}H$ e, consequentemente, temos $H\hat{A}C = \alpha$ e $A\hat{C}H = \beta$. No triângulo $ABH$, vemos que $\sin{\beta} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$, assim no triângulo $ABC$, segue que

$\sin{\beta} = \frac{8}{2+x} = \frac{1}{4} \iff 2+x = 8\cdot 4 \iff 2 + x = 32 \iff x = 30$

(para enxergar melhor essa segunda solução, recomendo desenhar os ângulos descritos no triangulo da figura) e veja que ela é bem mais simples que o modo 1, pois não é necessário lembrar das relações métricas)

observação. sin é a mesma coisa de sen (seno), apenas escrevo sin por questão de costume.