Question

Dada a figura abaixo, determine:
a) Determine as equações reduzidas das duas circunferências.
b) Calcule as coordenadas dos pontos A e B, intersecções das duas
circunferências.
(Sugestão: resolva o sistema com as duas equações obtidas em a).

Answer 1

a) Perceba que C₁ = (-3,2) e o raio é igual a 2.

Assim, a equação da circunferência menor é:

(x + 3)² + (y - 2)² = 4

Já C₂ = (1,1) e o raio é igual a 3.

Logo, a equação da circunferência maior é:

(x - 1)² + (y - 1)² = 9.

b) Da primeira equação, temos que:

x² + y² = -6x + 4y - 9

E da segunda equação, temos que:

x² + y² = 2x + 2y + 7

Igualando as duas equações, obtemos:

-6x + 4y - 9 = 2x + 2y + 7

-8x + 2y = 16

y = 8 + 4x.

Substituindo o valor de y em x² + y² = -6x + 4y - 9, obtemos:

x² + (4x + 8)² = -6x + 4.(4x + 8) - 9

17x² + 54x + 41 = 0

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bháskara:

Δ = 54² - 4.17.41

Δ = 2916 - 2788

Δ = 128

$x=\frac{-54+-\sqrt{128}}{2.17}$

$x=\frac{-54+-8\sqrt{2}}{34}$

$x=\frac{-27+-4\sqrt{2}}{17}$

Assim, temos dois valores para x:

$x=\frac{-27-4\sqrt{2}}{17}$ e $x=\frac{-27+4\sqrt{2}}{17}$.

Quando $x=\frac{-27-4\sqrt{2}}{17}$, então $y=\frac{28-16\sqrt{2}}{17}$.

Quando $x=\frac{-27+4\sqrt{2}}{17}$, então $y=\frac{28-+16\sqrt{2}}{17}$.

Portanto, as coordenadas dos pontos A e B são:

$A = (\frac{-27-4\sqrt{2}}{17},\frac{28-16\sqrt{2}}{17})$

$B = (\frac{-27+4\sqrt{2}}{17},\frac{28+16\sqrt{2}}{17})$