Question

Dada a equação $senx+\sqrt{3}cosx=2$ , encontre o valor de x

Answer 1

senx + √3cosx = 2

senx = 2 - √3cosx

(senx)² = (2 - √3cosx)²

sen²x = 4 - 4√3cosx + 3cos²x

Vamos substituir sen²x por (1-cos²x)

Pois da relação fundamental da trigonometria:

sen²x + cos²x = 1 ----> sen²x = (1 - cos²x)

Ficamos com:

1 - cos²x = 4 - 4√3cosx + 3cos²x

4cos²x - 4√3cosx + 3 = 0

Δ = (-4√3)² - 4*4*3

Δ = 48 - 48

Δ = 0 ----> √Δ = √0 = 0

cosx = - (-4√3) / 2*4 = 4√3 / 8 = √3 / 2

Chegamos em:

cosx = √3 / 2

EM [0,2π]

cosx = √3 / 2 ---> x = π/6 ou x = 11π/6

Substituindo x = 11π/6 na equação inicial senx + √3cosx = 2

a igualdade NÃO se verifica. Portanto x = 11π/6 é absurdo!

x = π/6

Como o intervalo não foi definido, o conjunto solução será:

S = {x ∈ R | x = π/6 + 2kπ , onde k ∈ Z}

Answer 2

$sen \: x+\sqrt{3} cos \: x =2$
$2 \Big( \frac{1}{2} \cdot sen \: x + \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot cos \: x = 2 \\ \\ 2 \Big( cos \: \big( \frac{ \pi }{3} \big) sen \: x \: + \: sen \: \big( \frac{ \pi}{3} \big) cos \: x \Big) = 2 \\ \\ \cancel{2} sen \Big( x + \frac{ \pi}{3} \Big) = \cancel{2} \\ \\ sen \Big( x + \frac{ \pi }{3} \Big) = 1 \\ \\ x + \frac{ \pi }{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \: , \: k \in Z \\ \\ x = \frac{ \pi}{2} - \frac{ \pi}{3} + 2\pi k \: , \: k \in Z \\ \\ x = \frac{ \pi}{6} + 2\pi k \: , \: k \in Z$