Matemática, perguntado por filipetanusmarcal200, 9 meses atrás

Dada a equação $3x^2+(m^3-8)x-81=0$ , determine o valor de m para que a equação tenha duas raízes reais e simétricas

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Tendo terminado os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "m" que produz raiz simétricas na referida equação do segundo grau é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf m = 2\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a equação do segundo grau:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 3x^{2} + (m^{3} - 8)x - 81 = 0\end{gathered}$}$

Cujos coeficientes são:

$\Large\begin{cases} a = 3\\b = m^{3} - 8\\c = -81\end{cases}$

Observe que a equação do segundo grau dada foi gerada a partir da seguinte função quadrática:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = 3x^{2} + (m^{3} - 8)x - 81 \end{gathered}$}$

Dizemos que duas raízes de uma equação do segundo grau são simétricas se, e somente se, elas possuírem o mesmo valor, porém, com sinais opostos.

Para que uma equação do segundo grau tenha duas raízes simétricas é necessário que b = 0. Então, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned} b & = 0\\m^{3} - 8 & = 0\\m^{3} & = 8\\m & = \sqrt[3]{8}\\m & = 2 \end{aligned} $}$

✅ Portanto, o valor de "m" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m = 2\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Prova:\:\:\:}}}\end{gathered}$}$

Sendo m = 2:

$\Large \text {$\begin{aligned}3x^{2} + (m^{3} - 8)x - 81 & = 0\\3x^{2} + (2^{3} - 8)x - 81 & = 0\\3x^{2} + (8 - 8)x - 81 & = 0\\3x^{2} + 0\cdot x - 81 & = 0\\3x^{2} - 81 & = 0\\x^{2} - 27 & = 0\\x^{2} & = 27\\x & = \pm\sqrt{27}\\x & = \pm\sqrt[\!\diagup\!\!]{3^{\!\diagup\!\!\!2}\cdot3}\\x & = \pm3\sqrt{3}\end{aligned} $}$