Question

Dada a equação sqrt( (x+c))^2+(y-0)^2 )+sqrt( (x-c)^2+(y-0)^2 )=2a , como posso chegar a esta equação: (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 ( equação de uma elipse )

Answer 1

$\sqrt{(x+c)^{2}+(y-0)^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}=2a\\ \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$(x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+(x+c)^{2}+y^{2}\\ \\ x^{2}+2cx+c^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}$


Cancelando os termos que aparecem dos dois lados da igualdade, temos

$2cx=4a^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}-2cx\\ \\ 4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=4a^{2}-4cx\\ \\ a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=a^{2}-cx$


Elevando novamente dos dois lados ao quadrado, temos

$a^{2}\cdot [(x-c)^{2}+y^{2}]=a^{4}-2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ \\ a^{2}\cdot [x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}]=a^{4}-2a^{2}cx+c^{2}x^{2}\\ \\ a^{2}x^{2}-2a^{2}cx+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}-2a^{2}cx+c^{2}x^{2}$


Cancelando novamente os termos que aparecem dos dois lados

$a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}+c^{2}x^{2}\\ \\ a^{2}x^{2}-c^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}-a^{2}c^{2}\\ \\ (a^{2}-c^{2})\,x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}\,(a^{2}-c^{2})$


Como $0<c<a,$ temos que $a^{2}-c^{2}\ \textgreater \ 0.$ Então, podemos fazer

$a^{2}-c^{2}=b^{2}$

para algum $b>0.$


E assim, chegamos a

$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$


Dividindo os dois lados por $a^{2}b^{2},$ temos

$\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 \end{array}}$


onde $b^{2}=a^{2}-c^{2}$