Question

Dada a equação reduzida (x+2)^2+(y-1)^2=9 determine:
a)centro da circunferência
b)raio da circunferência
c)a equação geral da circunferência
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Answer 1

De acordo com o cálculo, descobrimos que:

$\Large \displaystyle \mathsf{ a) \quad C\: (-2,1) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ b) \quad r = 3 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ c ) \quad x^{2} +y^2 +4x -2y - 4 = 0 } }$

Uma circunferência com $\boldsymbol{ \textstyle \sf C (a,b) }$ e raio $\boldsymbol{ \textstyle \sf r }$. O ponto $\boldsymbol{ \textstyle \sf P(x,y) }$ pertence à circunferência se , somente se:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ d(P,C) = r = \sqrt{(x -a)^2+(y-b)^2} } }$

Elevando ambos os membros os quadrados, temos:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ (x-a)^2 + (y-b)^2 =r^2 } }$

Equação reduzida da circunferência de centro (a, b) e raio r.

Equação geral da circunferência:

Partindo da equação reduzida de uma circunferência e desenvolvendo, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ (x-a)^2 + (y-b)^2 =r^2 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{x^{2} - 2ax +y^2 + y^2 -2by +b^2 = r^2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} +y^{2} -2ax -2ay+a^{2} +b^{2} -r^{2} =0 } }$

Fazendo:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf \alpha = -2a \\\sf \beta = -2b \\\sf \gamma = a^2+b^2 -r^2 \end{cases} } }$

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ (x-a)^2 + (y-b)^2+ \alpha x +\beta y + \gamma = 0 } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \mathsf{ (x+2)^2+(y-1)^2=9 }$

a) centro da circunferência;

Comparando a fórmula da equação da circunferência e a equação dada, temos:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf C\:( -2,1) }$

b) raio da circunferência;

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ r^{2} = 9 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ r = \sqrt{9} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf r = 3 }$

c) a equação geral da circunferência.

Desenvolvendo a equação dada, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ (x+2)^2+(y-1)^2=9 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} +4x + 4 + y^2 -2y +1 -9 = 0 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} +y^2 +4x -2y +4 - 8 = 0 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x^{2} +y^{2} +4x -2y - 4 = 0 }$

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