Question

Dada a equação normal da circunferência abaixo 3x² + 3y² - 12x + 18y - 9 = 0, determine seu raio:

Answer 1

Vamos lá

Veja, Laércio, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar o raio da circunferência, cuja equação é dada abaixo:

3x² + 3y² - 12x + 18y - 9 = 0 ---- vamos dividir ambos os membros por "3", com o que ficaremos da seguinte forma:

x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0

Antes de iniciar, veja que a equação reduzida de uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r é dada da seguinte forma:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²       . (I)

Vamos deixar a expressão (I) "guardada" aí em cima, pois vamos precisar dela daqui a pouco.

i) Agora vamos tomar a expressão da sua questão, que, após fazermos as devidas simplificações, ficou sendo esta:

x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0 ---- vamos ordenar, para formarmos os quadrados. Assim:

x² - 4x + y² + 6y - 3 = 0 --- Agora vamos formar os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles números que serão acrescidos em função da formação dos quadrados. Assim, teremos:

(x-2)² - 4 + (y+3)² - 9 - 3 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
(x-2)² + (y+3)² - 16 = 0 --- vamos colocar "-16" para o 2º membro, ficando:
(x-2)² + (y+3)² = 16       . (II)

ii) Agora vamos comparar a expressão (II) acima com a expressão (I), que deixamos "guardada" logo no início.
Vamos repetir as duas, colocando uma embaixo da outra pra que a comparação seja facilitada. Assim, teremos:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²        . (I)
(x-2)² + (y+3)² = 16       .(II)

Veja: da comparação feita aí em cima já poderemos concluir que o centro da circunferência da sua questão será: C(2; -3).
E o raio será:

r² = 16
r = ± √(16)  ---- como √(16) = 4, teremos:
r = ± 4 ---- como o raio não é negativo, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

r = 4 .

iii) Assim, resumindo, temos que a circunferência da sua questão tem, respectivamente, centro e raio iguais a:

C(2; -3) e r = 4   <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.