Question

Dada a equação mx2 + 10x + 3 = 0, uma de suas raízes é igual ao inverso da outra. Nessas condições, o valor de m é?

Answer 1

Resposta:

Olá!

Explicação passo-a-passo:

As raízes de uma equação do segundo grau (equação da forma ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0) são dadas pela fórmula:

$x = \frac{ - b \pm \sqrt{ {b}^{2} - 4.a.c } }{2.a}$

Em que:

$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{b^{2} - 4.a.c}}{2.a} \\ \\ x_{2} = \frac{-b - \sqrt{b^{2} - 4.a.c}}{2.a}$

Neste caso, temos:

$x_{2} = \frac{1}{x_{1}}$

Logo:

$x = \frac{ - b - \sqrt{ {b}^{2} - 4.a.c } }{2.a} = \frac{2.a} }{ - b + \sqrt{ {b}^{2} - 4.a.c }$

Substituindo os valores:

$\frac{ - 10 - \sqrt{ {10}^{2} - 4 \times m \times 3} }{2 \times m} = \frac{2 \times m}{ - 10 + \sqrt{ {10}^{2} - 4 \times m \times 3 } } \\ \\ \frac{ - 10 - \sqrt{100 - 12m} }{2m} = \frac{2m}{ - 10 + \sqrt{100 - 12m} }$

Então, usamos a propriedade fundamental das proporções:

$(- 10 - \sqrt{100 - 12m})( - 10 + \sqrt{100 - 12m}) = 2m \times 2m \\ \\ {( - 10)}^{2} - {( \sqrt{100 - 12m} )}^{2} = 4 {m}^{2} \\ \\ \cancel{100} - (\cancel{100} - 12m) = 4 {m}^{2} \\ \\ 4 {m}^{2} = 12m \\ \\ \huge{\boxed{\boxed{m = 0}}} \\ \\ ou \\ \\ \frac{4 {m}^{2} }{m} = \frac{12 \cancel{m}}{\cancel{m}} \\ \\ 4m = 12 \\ \\ m = \frac{12}{4} = 3 \\ \\ \huge{\boxed{\boxed{m = 3}}}$

Como m = a, e a deve ser diferente de zero, então o que nos resta é dizer que:

$\huge{\boxed{\boxed{m = 3}}}$

Espero ter ajudado :)