Question

dada a equação(m-2)x⁴-(2m+1)x²+m=0,dermine m€ ao números reais,de modo que a equação seja biquadratica completa​

Answer 1

$\displaystyle \sf (m-2)x^4-(2m+1)x^2+m=0 \\\\ \text{Fa\c camos}}: \\\\ x^2 = y \\\\ \therefore \\\\ (m-2)y^2-(2m+1)y+m = 0 \\\\ y = \frac{-[-(2m+1)] \pm \sqrt{[-(2m+1)]^2-4(m-2).m}}{2(m-2)} \\\\\\ y = \frac{2m+1\pm\sqrt{4m^2+4m+1 -4m^2+8m}}{2m-4} \\\\\\ y = \frac{2m+1\pm\sqrt{12m+1 }}{2m-4}$

1º passo - denominador tem que ser diferente de 0 :

$\sf 2m-4 \neq 0 \to2 m \neq 4 \to m\neq 2$

2º passo - raiz quadrada tem que ser maior ou igual a 0 para que pertença aos reais :

$\displaystyle \sf 12m+1\geq 0\\\\ 12 m \geq -1 \\\\ \boxed{\sf m\geq \frac{-1}{12} }$

Então temos que :

$\displaystyle \left\{\sf m\in\mathbb{R} \ | \ m\geq\frac{-1}{12} \ \ e\ \ m\neq 2 \right\}$

E para que ela seja biquadrada completa basta não zerar os termos em $\sf x^4\ e \ x^2$, ou seja :

$\displaystyle \sf m-2\neq 0 \to m\neq 2 \\\\ 2m+1\neq 0 \to m\neq \frac{-1}{2}$

Portanto devemos ter :

$\boxed{\sf \displaystyle \sf S = \left\{m\in\mathbb{R}\ | \ m\geq \frac{-1}{12} \ \ e \ \ m\neq 2 \ ,\ m\neq \frac{-1}{2} \ \right\}}\checkmark$