dada a equação do hiperboloide de uma folha x²/4 + y²/4 + z²/9 = 1, determine o raio do circulo no plano z=3
Soluções para a tarefa
Vamos là.
correção:
a equação do hiperboloide é:
x²/4 + y²/4 - z²/9 = 1
determine o raio do circulo no plano z=3
x²/4 + y²/4 = 2
x² + y² = 8
raio r = √8
O raio da circunferência que está inserida no plano z=3 do hiperboloide é zero.
Hiperboloide
- Superfície tridimencional gerada a partir da rotação de uma hiperbole.
- Visualmente, parece um cilindro com a parte mediana afinada.
- A equação geral do hiperboloide é: ± x²/a² ± y²/b² ± z²/c² = 1, onde a, b e c são parâmetros e x, y e z são as coordenadas cartesianas.
Circunferência
- Forma bidimencional.
- Qualquer plano perpendicular a reta de revolução de um hiperboloide contem uma circunferência.
- A equação geral da circunferência é: (x-a)² + (y-b)² = r², onde (a,b) é a coordenada do centro da circunferência, (x,y) são as coordenadas cartesianas e r é o raio da circunferência.
Resolução passo-a-passo
Para encontrar a equação da circunferência no plano z=3 do hiperboloide x²/4 + y²/4 + z²/9 = 1, é necessário substituir z=3 na equação do hiperboloide:
x²/4 + y²/4 + z²/9 = 1
x²/4 + y²/4 + 3²/9 = 1
x²/4 + y²/4 + 9/9 = 1
x²/4 + y²/4 + 1 = 1
Subtraindo 1 dos dois lados da igualdade:
x²/4 + y²/4 = 0
Multiplicando todos os termos por 4 para remover as frações da equação:
4*x²/4 + 4*y²/4 = 4*0
x² + y² = 0
A equação da circunferência contida no hiperboloide no plano z=3 é x² + y² = 0.
Comparando a equação obtida com a equação geral da circunferência ((x-a)² + (y-b)² = r²), vemos que a=0, b=0 e r=0. Assim, o centro da circunferência está na origem (a,b) = (0,0) e o raio do círculo é zero.
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