Question

Dada a equação diofantina 14x + 22y = 50, determine a sua solução geral.
x = -75 + 11t e y = 50 - 7t x = -45 + 8t e y = 24 - 8t x = -5 + 12t e y = 5 - 8t x = -55 + 10t e y = 70 - 5t x = -25 + 11t e y = 35 - 7t

Answer 1

Com o estudo das equações diofantinas temos como resposta letra a)x = -75 + 11t e y = 50 - 7t

Equação diofantina

Vamos considerar a equação diofantina $ax\:+\:by\:=\:c$, onde a, b e c são inteiros com a e b não ambos nulos. A solução da equação é um par de inteiros $x_0$,$y_0$ tal que $ax_0+by_0=c$. Uma equação diofantina pode ter várias soluções. Por exemplo, 3x + 6y =18

• 3*4 + 6*1 = 18
• 3*(-6) + 6*6 = 18
• 3*10 + 6*(-2) = 18

Já a equação 2x + 10y =17 não possui solução, pois o lado esquerdo da equação é um inteiro par, qualquer que seja a escolha de x e y enquanto o lado direito é um inteiro ímpar.

Condição de resolução

A equação diofantina $ax\:+\:by\:=c$ admite solução se, e somente se d = mdc(a, b) divide c.

Demonstração

Seja d = mdc(a, b). Então d|a e d|b e portanto existem inteiro r e s com a = dr e b = ds. Se a solução de

• $ax\:+\:by\:=c$

existe então temos um par  $x_0,y_0$  com $ax_0+by_0=c$. Assim

$c=ax_0+by_0=drx_0+dsy_0=d\left(rx_0+sy_0\right)$

∴ d|c.

Reciprocamente, suponhamos que d|c, ou seja, existe um inteiro t tal que c = dt. Como d = mdc(a, b) então existem inteiros $x_0,y_0$ tal que $d=ax_0+by_0$. Assim

• $c=td=atx_0+bty_0=a\left(tx_0\right)+b\left(ty_0\right)$

e desse modo a equação Diofantina c=ax+by tem solução $tx_0,ty_0$.

Teorema

A equação diofantina linear ax+by=c tem uma solução se, e somente se d|c, onde d=mdc(a,b). Se $x_0\:e\:y_0$ é uma solução particular desta equação, então todas as outras soluções são dadas por  

• $x=x_0+\left(\frac{b}{d}\right)t$
• $y=y_0-\left(\frac{a}{d}\right)t$

onde t varia em todos os inteiros.

Demonstração

Vamos supor que $x_0\:e\:y_0$ seja uma solução conhecida para equação $ax+by=c.$ Se x' e y' é uma outra solução então $ax+by=ax'+by'$ ou equivalentemente $a\left(x'-x_0\right)=b\left(y_0-y'\right)$, existem primos r e s entre sí tal que $a=rd\:e\:b=sd$. Assim:

$a\left(x'-x_0\right)=b\left(y_0-y'\right)\Leftrightarrow rd\left(x'-x_0\right)=sd\left(y_0-y'\right)\Leftrightarrow r\left(x'-x_0\right)=s\left(y_0-y'\right)$

o que implica que $r|s\left(y_0-y'\right).\:$Como $mdc\left(r,s\right)=1$ então $r|\left(y_0-y'\right)$ ou ainda: existe inteiro t tal que $y_0-y'=tr$. Substituindo este último em $r\left(x'-x_0\right)=s\left(y_0-y'\right)$ obtemos $r\left(x'-x_0\right)=str$ ou ainda $x'-x_0=st$. Isto nos leva a fórmula.

• $x'=x_0+st=x_0+\left(\frac{b}{d}\right)t$

• $y'=y_0-rt=y_0-\left(\frac{a}{d}\right)t$

Observe que x' e y' satisfazem a equação diofantina. De fato

• $ax'+by'=ax_0+\left(\frac{ab}{d}\right)t+by_0-\frac{ab}{d}t=ax_0+by_0=c$

Assim, existem um número infinito de soluções de uma dada equação, para cada t.

Com isso podemos resolver o exercício 14x+22y = 50

• Temos que o d=mdc(14, 22) = 2
• 2|50<=>50 = 2*25

Podemos então reescrever 14 e 22 da seguinte forma

• 22 = 1*14 + 8 => 22 - 1*14 = 8
• 14 = 1*8 + 6=> 14 - 1*8 = 6
• 8 = 1*6 + 2=>8-1*6 = 2

Assim, teremos

• 22 - 1*14 - 1*(14 - 1*8) = 2
• 22 - 1*14 - 1*14+ 1*8 = 2
• 22 + 14(-2) + 1*8 = 2
• 22 +14*(-2) + 1*(22 - 1*14) = 2
• 22 + 14*(-2)+ 22*(1) - 1*14 = 2
• 14*(-3) + 22*(2) = 2*(25)
• 14*(-75) + 22*(50) = 50

$x_0=-75\:e\:y_0=50$

A solução geral será

$\begin{cases}x=-75+\left(\frac{22}{2}\right)t=-75+11t&\\ y=50-\left(\frac{14}{2}\right)t=50-7t&\end{cases}$

Saiba mais sobre equação diofantina:https://brainly.com.br/tarefa/31695

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