Question

Dada a equação da circunferência λ∶x²+y²+2 (3x-2y)=12, escreva-a na forma reduzida e, em seguida, determine qual(is) quadrante(s) contém pontos dessa circunferência​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{(x+3)^2+(y-2)^2=25~|~Todos~os~quadrantes}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão de geometria analítica, devemos relembrar alguns detalhes.

A equação que temos no enunciado está na forma geral, mas devemos encontrar sua forma reduzida, para que possamos comparar e encontrar as coordenadas do centro e o raio.

Uma equação reduzida de circunferência tem a forma

$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2$, na qual $(x_c,~y_c)$ são as coordenadas do centro e $R$ é o raio.

Temos a seguinte equação geral

$x^2+y^2+2(3x-2y)=12$

Para torná-la reduzida, sigamos os seguintes passos:

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação, a fim de retirar os termos de dentro dos parênteses

$x^2+y^2+6x-4y=12$

Agora, utilizaremos o método de completar quadrados. Ele consiste em somarmos quadrados perfeitos que, quando reorganizados na equação, dão origem a um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado.

Lembre-se que trinômios quadrados perfeitos são aqueles da forma $a^2\pm2ab+b^2$ que quando fatorados, resultam em $(a\pm b)^2$.

Para sabermos qual número somar, preste atenção nos termos de grau 1. Seus coeficientes se assemelham à forma dos trinômios, porém vemos que ele vale o dobro do original. Logo, somaremos o quadrado da metade deste coeficiente:

Some 9 e 4 em ambos os lados da equação

$x^2+y^2+6x-4y+9+4=12+9+4$

Reorganize e some os termos semelhantes

$x^2+6x+9+y^2-4y+4=25$

Fatore os trinômios e os quadrados perfeitos

$(x+3)^2+(y-2)^2=5^2$

Esta é a equação reduzida da circunferência. Comparando-a com a forma reduzida, descobrimos que seu centro está em $(-3,~2)$ e o raio mede $5$.

Isto significa que seu centro pertence ao segundo quadrante. Como sua posição relativa aos eixos coordenados é menor que o seu raio, a circunferência contém pontos em todos os quadrantes.