Question

Dada a circunferência de equação x2 + y2 + 4x – 6y + 12 = 0 e os pontos A = (p; –1) e B = (1; 1), é correto afirmar que o valor de p para que o centro da
circunferência e os pontos A e B estejam alinhados é

Escolha uma:
a. 2.
b. 3.
c. –4.
d. 4.
e. –3.

A imagem mostra o jeito de resoluçao do calculo

Answer 1

Primeiro vamos completar os quadrados para encontrar o centro da circunferência:

$x^{2} +4x+4+y^2-6y+9+12=0+4+9 \\ (x+2)^2+(x-3)^2=13-12 \\ (x+2)^2+(x-3)^2=1$

Pela equação geral da circunferência:

$(x-a)^2+(x-b)^2=r^2$

Podemos observar que o centro da circunferência é C (-2,3)

Três pontos estão alinhados se e somente se o determinante entre eles for igual a zero.

$\left[\begin{array}{ccc}x_{a} &y_{a} &1\\x_{b} &y_{b}&1\\x_{c} &y_{c} &1\end{array}\right]$

Temos, A = (p,-1), B = (1,1) e C (-2,3).

Aplicando:

$\left[\begin{array}{ccc}p&-1&1\\1&1&1\\-2 &3 &1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}p&-1\\1&1\\-2&3\end{array}\right] =$

$p+2+3+1-3p+2=0 \\ -2p=0+8 \\ p= \frac{8}{-2} \\p=-4$

Portanto, p = -4.