Question

Da sacada de um apartamento, a 30 metros de altura, um objeto é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de 20 m/s. A altura, h, do objeto após t segundos do lançamento pode ser aproximada por h = -30 +20t -5t^2.

a) Após quanto tempo o objeto atingiu 45 m de altura?
b) Após quanto tempo o objeto atingiu 50 m de altura?
c) Após quanto tempo o objeto atingiu 5 m de altura?
d) É possível o objeto atingir 60 m de altura?

Answer 1

Vamos usar a equação para o movimento uniformemente variado:

S = So + vot + at²/2

So = 30 m;  vo = 20m/s ; a = -10m/s² (porque o objeto foi lançado para cima contra o sentido da gravidade)

a) S = So + vot + at²/2

45 = 30 + 20.t - 10t²/2

0 = - 15 + 20t - 5t²

Vamos simplificar a equação toda por 5 para facilitar o cálculo:

-t² + 4t - 3 = 0

Resolveremos por Bháskara:

Δ = 4² - 4 . (-1) . (-3) = 16 - 12 = 4

t = - 4 ± √4              - 4 - 2                             - 4 + 2

    ------------- ;  t' = -------------- = 3s  e o t'' = ------------------- = 1s

         2. (-1)                 -2                                    -2

Isso quer dizer que entre 1s e 3s o objeto atingiu a altura de 45m.

b) Faremos o mesmo procedimento da letra anterior, só trocaremos o S por 50 dessa vez.

50 = 30 + 20.t - 10t²/2

0 = - 20 + 20t - 5t²

Dividindo tudo por 5:

- t² + 4t - 4 = 0

Δ = 16 - 4 . (-1) . (-4) = 16 - 16 = 0

t = - 4 ± √0

   --------------;  t = - 4/ -2 = 2s

        2. (-1)

c) Agora trocamos o S por 5

5 = 30 + 20.t - 10t²/2

0 = 25 + 20t - 5t²

Dividimos tudo por 5

-t² + 4t + 5 = 0

Δ = 16 - 4 . (-1) . 5 = 36

t = - 4 ± √36            - 4 - 6                         - 4 + 6

   ----------------; t' =  ------------ = 5s;   t'' =  ---------------- = -1 s

          2. (-1)                  -2                               -2

Como não existe tempo negativo, o resultado é 5s

d) Agora substituiremos o S por 60 para ver se chegamos num valor positivo de tempo, se não, não é possível ele atingir essa altura.

60 = 30 + 20.t - 10t²/2

0 = - 30 + 20t - 5t²

Dividimos tudo por 5

- t² + 4t - 6 = 0

Δ = 16 - 4 . (-1) . (-6) = 16 - 24 = - 8

Como o delta é negativo e para jogarmos na fórmula temos que tirar a raiz, não é possível para o móvel chegar a essa altura com essa velocidade, pois não existe raiz de número negativo.