Question

d²y -2 dy +2y = 0
dx² dx

Answer 1

$\frac{d^2y}{dx^2} -2 \frac{dy}{dx}+2y=0\\\\\boxed{y''-2y'+2y=0 }}$

escrevendo a equação caracteristica
$r^2-2r+2=0$

resolvendo
$r= \frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4*1*2} }{2*1} \\\\\boxed{\boxed{r= 1\pm i}}$

como 
$r=\alpha \pm \beta i$

e a solução dessa edo é dada por:
$y=C_1*e^{\alpha x}*sen(\beta x)+C_2*e^{\alpha x}*cos(\beta x)\\\\\\\\\boxed{\boxed{y=C_1*e^{x}*sen(x)+C_2*e^{x}*cos(x)}}$

Answer 2

Resposta: y = e^x \cdot cos(x)

Para testar a validade da igualdade do enunciado, primeiro devemos encontrar a primeira e a segunda derivadas da função "y".

A primeira derivada da função:

y= e^x \cdot cos(x) \\ \\
\frac{dy}{dx} = e^x \cdot cos(x) - sen(x) \cdot e^x \\ \\ \boxed{\frac{dy}{dx} = e^x \cdot (cos(x) - sen(x))}

A segunda derivada da função:

\frac{dy}{dx} = e^x \cdot (cos(x) - sen(x)) \\ \\
 \frac{d^2y}{d^2x} = e^x \cdot (cos(x)-sen(x))+(-sen(x)-cos(x)) \cdot e^x \\ \\
 \frac{d^2y}{d^2x} = e^x \cdot (\not cos(x)-sen(x)-sen(x)-\not cos(x)) \\ \\
 \boxed{\frac{d^2y}{d^2x} = -2e^x \cdot sen(x)}

Explicação passo-a-passo:ambas as derivadas foram realizadas utilizando a Regra do Produto.

Regra do produto:

\boxed{\frac{d}{dx}(uv) =  u'v+v'u}

Agora basta substituir na expressão do enunciado e verificar o valor obtido:

z = -2e^x \cdot sen(x)-2 \cdot e^x \cdot (cos(x)-sen(x))+ 2 \cdot e^x \cdot cos(x) \\ \\
z = e^x \cdot (-2sen(x)-2(cos(x)-sen(x))+2cos(x)) \\ \\
z = e^x \cdot (-2sen(x)-2cos(x)+2sen(x)+2cos(x)) \\ \\
z = e^x \cdot 0 \\ \\
\boxed{z = 0}

Por fim, provou-se que:

\therefore ~~~~~~  \boxed{\boxed{\frac{d^2y}{dx} -2 \cdot \frac{dy}{dx} +2y = 0}}