D27- Resolver problema envolvendo PG.
(Unesp-SP) Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma caderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, até o mês em que o valor do depósito atingisse R$ 2048,00. No mês seguinte o pai recomeçará os depósitos como de inicio e assim o faria até o 21º aniversário de seu filho. Não tendo ocorrido falha de depósito ao longo do período, e sabendo-se que 210 = 1024, o montante total dos depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança foi de:
a) 42.947,50
b) 49.142,00
c) 57.330,00
d) 85.995,00
e) 114.660,00
Soluções para a tarefa
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
2⁴ = 16
2⁵ = 32
2⁶ = 64
2⁷ = 128
2⁸ = 256
2⁹ = 512
2¹⁰ = 1024
2¹¹ = 2048
12 MESES = 1 ANO
EM UM ANO O PAI DEPOSITOU =
1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048 = 4095
1 ANO ------------------------------4095
21 ANOS -------------------------- X
X*1 = 21*4095
X = 85995
Resposta letra d)85995
Resposta: D
Explicação passo-a-passo:
Primeiramente, os depósitos feitos pelo pai se comportam como uma PG de razão 2, pois 2/1 = 4/2.
''O pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma caderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, até o mês em que o valor do depósito atingisse R$ 2048,00''
Ou seja, o pai irá realizar um total ''n'' de depósitos até o dia em que o valor depositado seja R$2048,00. Para acharmos esse valor ''n'', basta utilizarmos a fórmula do termo geral de uma PG:
a(n) = a1.q^(n-1)
2048 = 1.2^(n-1)
2^11 = 2^n-1
11 = n-1
n = 12 ... Dessa forma, concluímos que o total de depósitos feitos até que o último fosse igual a R$2048,00 foi 12.
Achado o número de depósitos, podemos calcular o saldo dessa poupança de 1 ano (12 meses):
Sn = a1.(q^(n)-1)/q-1
S12 = 1.(2^12-1)/2-1
S12 = 2^10.2^2-1 (2^10 = 1024)
S12 = 1024.4-1= 4095 ... Em um ano, a poupança rende R$4095,00 reais.
Como o pai irá fazer esse processo por 21 anos, podemos calcular o quanto ele irá poupar nesse tempo:
4095.21 = R$85.995,00
Espero ter ajudado!!