Question

d(x)= raiz de x2- 1. Calcule a expressão pela regra da cadeia

Answer 1

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Calcular a derivada da função

$\mathsf{y=\sqrt{x^2-1}}\\\\ \mathsf{y=\big(x^2-1)^{1/2}}$


Olhando para  y  como uma função composta:

$\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{y=u^{1/2}}\\\\\mathsf{u=x^2-1} \end{array} \right.$


usamos a Regra da Cadeia para derivar:

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{du}(u^{1/2})\cdot \dfrac{d}{dx}(x^2-1)}$


Agora, use a Regra da Potência:

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2}\,u^{(1/2)-1}\cdot 2x}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2}\,u^{-1/2}\cdot 2x}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 2}\cdot \dfrac{1}{u^{1/2}}\cdot \diagup\!\!\!\! 2x}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{u^{1/2}}}$


Agora, substitua de volta para a variável  x  e você obtém

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{(x^2-1)^{1/2}}}$


$\boxed{\begin{array}{c} \mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}} \end{array}}$          ✔


Bons estudos! :-)


Tags:  derivada função composta regra da cadeia raiz quadrada polinômio quadrático cálculo diferencial integral