Question

d/d(x) ((e^x - e^-x)/(e^x + e^-x))

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right)'=\dfrac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a derivada desta função, existem diversas formas.

$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}\right)$

Lembre-se que:

• A derivada de uma função racional é calculada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada da função exponencial é a própria função exponencial.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada por: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.

Aplicando a regra do quociente, temos

$\dfrac{(e^x-e^{-x})'\cdot(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})\cdot(e^x+e^{-x})'}{(e^x+e^{-x})^2 }$

Aplique a regra da soma

$\dfrac{((e^x)'-(e^{-x})')\cdot(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})\cdot((e^x)'+(e^{-x})')}{(e^x+e^{-x})^2 }$

Calcule a derivada da função exponencial e aplique a regra da cadeia

$\dfrac{(e^x-(-x)'\cdot e^{-x})\cdot(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})\cdot(e^x+(-x)'\cdot e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2 }$

Efetue a propriedade de sinais e aplique a regra da potência

$\dfrac{(e^x+e^{-x})\cdot(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})\cdot(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2 }$

Multiplique os valores

$\dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{(e^x+e^{-x})^2 }$

Some os valores

$\dfrac{4}{(e^x+e^{-x})^2 }$

Simplifique a fração, fazendo $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$

$\dfrac{4}{\left(e^x+\dfrac{1}{e^{x}}\right)^2 }\\\\\\\\ \dfrac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2 }$

Este é o resultado desta derivada.

Veja que também podíamos calcular esta derivada utilizando conhecimentos sobre funções trigonométricas hiperbólicas:

Sabendo que $\sinh(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ e $\cosh(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$, ao utilizarmos a mesma propriedade a qual estamos habituados, teremos:

$\tanh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

A derivada da função tangente hiperbólica se comporta assim como a derivada da tangente que conhecemos: $(\tan(x))'=\sec^2(x)$

Então, sua derivada seria:

$(\tanh(x))'=\bold{sech^2(x)}$

Sabendo que, da mesma forma como conhecemos, $\sec(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}$, teremos:

$(\tanh(x))'=\dfrac{1}{\cosh^2(x)}$

Então, desfaça a substituição $\tanh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ e $\cosh(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$

$\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right)'=\dfrac{1}{\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2}$

Calcule a potência e a fração de frações

$\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right)'=\dfrac{4}{(e^x+e^{-x})^2}$

Da mesma forma que fizemos anteriormente, faça $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$ e calcule a fração

$\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right)'=\dfrac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}~~\checkmark$