Question

(CUCo - FUVEST)
Se a função polinomial do 2º grau definida por f(x) = (a – 1). x² + 2a.x + a
assume valores estritamente negativos para todo x E R, então
necessariamente

(A) a < 0.
(B) a < -1.
(C) a > +1.
(D) a > 2.
(E) -1 < a < 0.​

Answer 1

A resposta correta é a alternativa A.

Explicação

Para que uma função quadrática da forma $f(x)=ax^2+bx+c,\,a\neq0,$ assuma somente valores reais negativos, ela precisa satisfazer ao mesmo tempo as seguintes condições:

$\Large\begin{cases}a<0\\\\\Delta<0\end{cases}$

Desse modo, para que a função

$\Largef(x)=(a-1)\cdot x^2+2a\cdot x+a$

assuma valores estritamente negativos para todo real x, devemos impor as duas condições acima, ou seja:

$\Large\begin{cases}a-1<0&(i)\\\\(2a)^2-4\cdot(a-1)\cdot a<0&(ii)\end{cases}$

Da condição (i), temos:

$\Large\begin{gathered}a-1<0\implies\\\\\implies \boxed{a<1}\end{gathered}$

Da condição (ii), vem que:

$\Large\begin{gathered}(2a)^2-4\cdot(a-1)\cdot a<0\\\\4a^2-4a^2+4a<0\\\\4a<0\\\\\boxed{a<0}\end{gathered}$

Como as condições a < 1 e a < 0 precisam ser simultaneamente satisfeitas, fazemos a interseção das duas e obtemos a < 0.

Portanto, para que a função dada assuma valores estritamente negativos para todo $x\in\mathbb{R},$ deve-se ter necessariamente:

$\Large\boxed{\boxed{\text{ a<0 .}}}$

Resposta: alternativa A.

Dúvidas? Comente.

Espero ter ajudado!