Question

Cual es las dos solucion de x³=8
​

Answer 1

Resposta:

2

Explicação passo-a-passo:

${x}^{3} = 8 \\ x = \sqrt[3]{8} \\ x = 2$

Answer 2

Pelo teorema fundamental da álgebra, um polinômio de grau 3, como o descrito, deve ter 3 raízes, no entanto, quando vamos tomar a raiz, obtemos somente a solução x = 2. Isso acontece pois as outras 2 soluções estão no domínio complexo, e devemos encontrar tais soluções. Para isso podemos chegar ao resultado por dois métodos, o primeiro é por divisão de polinômios e o outro é supor x um complexo genérico.

Sabemos que se x = 2 é raiz para o polinômio x³-8, então x³-8 é divisível por x-2, e o quociente é um polinômio do segundo grau, cuja solução é conhecida por Bhaskara.

Realizamos a divisão pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini

$\left\begin{array}{c}2\\ \\\hspace{0.1cm}\end{array}\right|\left\begin{array}{cccc}1&0&0&-8\\\\1&2&4&0\end{array}\right$

Portanto, as outras duas soluções para x³=8 são soluções para x²+2x+4=0, que são obtidos por Bhaskara,

$x = \dfrac{-2\pm\sqrt{4-16}}{2} = \dfrac{-2\pm\sqrt{-12}}{2} = -1\pm i\sqrt{3}$

Portanto, são as 3 raízes de x³-8 são

$x_1 = 2, \hspace{0.6cm} x_2 = -1+i\sqrt{3}, \hspace{0.6cm} x_3 = -1-i\sqrt{3}$

O segundo método é supor que as soluções são do tipo

$x_n = \rho e^{i\theta_n}$

Portanto,

$(\rho e^{i\theta_n})^3 = \rho^3 e^{i3\theta_n} = 8$

Como 8 é um número real, seu argumento é 2πn, assim

$\rho^3 e^{i3\theta_n} = 8e^{i2\pi n}$

Separamos o valor absoluto de x do argumento

$\implies \rho^3 = 8 \implies \rho = 2$

$\implies 3\theta_n = 2\pi n \implies \theta_n = \dfrac{2\pi}{3}n$

Portanto, para n = 1, 2, 3

$\theta_1 = \dfrac{2\pi}{3}, \hspace{0.8cm} \theta_2 = \dfrac{4\pi}{3}, \hspace{0.8cm} \theta_3 = 2\pi$

$x_1 = 2\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right), \hspace{0.6cm} x_2 = 2\left(-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right), \hspace{0.6cm} x_3 = 2$

$x_1 = -1+i\sqrt{3}, \hspace{1cm} x_2 = -1-i\sqrt{3}, \hspace{1cm} x_3 = 2$