Question

(cotg x - cos x)² + (1 - senx)² = (1 - cossec x)²

Answer 1

Perdoe a cor vermelha.

Answer 2

Queremos demonstrar a igualdade, logo iremos simplifica-la até os termos dos lados da igualdade se anularem. Inicialmente, temos o seguinte:

$(cotan(x) - cos(x))^2 + (1 - sin(x))^2 = ( 1 - csc(x))^2$

Podemos reescrever da seguinte maneira:

$( \frac{1}{tan(x)} - cos(x))^2 + (1 - sin(x))^2 = ( 1 - \frac{1}{sin(x)} )^2 \\ \\ ( \frac{1 - cos(x) \cdot tan(x)}{tan(x)} )^2 + (1 - sin(x))^2 = ( \frac{sin(x) - 1}{sin(x)} )$

Utilizando a seguinte identidade trigonométrica:

$tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} \therefore sin(x) = cos(x) \cdot tan(x)$

Assim, temos o seguinte:

$( \frac{1 - sin(x)}{tan(x)} )^2 + (1 - sin(x))^2 = ( \frac{sin(x) - 1}{sin(x)} )^2$

Para facilitar os cálculos, utilizaremos a seguinte substituição:

$w = sin(x) - 1 \\ \\ -w = 1 - sin(x)$

Chegamos em:

$( \frac{-w}{tan(x)} )^2 + (-w)^2 = ( \frac{w}{sin(x)} )^2 \\ \\ \frac{w^2}{tan^2(x)} + w^2 = \frac{w^2}{sin^2(x)}$

Multiplicando toda equação por $tan^2(x)$, temos:

$\frac{w^2}{tan^2(x)} + w^2 = \frac{w^2}{sin^2(x)} \\ \\ w^2 + w^2 \cdot tan^2(x) = w^2 \cdot \frac{tan^2(x)}{sin^2(x)}$

Utilizando a identidade trigonométrica novamente:

$tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} \\ \\ tan^2(x) = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)} \therefore \frac{tan^2(x)}{sin^2(x)} = \frac{1}{cos^2(x)} = sec^2(x)$

Logo:

$w^2 + w^2 \cdot tan^2(x) = w^2 \cdot \frac{tan^2(x)}{sin^2(x)} \\ \\ w^2 + w^2 \cdot tan^2(x) = w^2 \cdot sec^2(x) \\ \\ w^2 = w^2 \cdot sec^2(x) - w^2 \cdot tan^2(x) \\ \\ w^2 = w^2 \cdot (sec^2(x) - tan^2(x))$

Utilizando a identidade trigonométrica a seguir:

$1 + tan^2(x) = sec^2(x) \\ \\ sec^2(x) - tan^2(x) = 1$

Por fim:

$w^2 = w^2 \cdot (sec^2(x) - tan^2(x)) \\ \\ w^2 = w^2\cdot 1 \\ \\ w^2 = w^2 \\ \\ 0 = 0$