Question

cos²x dx usando a integração por parte ​

Answer 1

$\int { \cos }^{2} x \: dx = \int \cos(x). \cos(x)dx$

$faça \: u = \cos(x) \\du = - \sin(x)dx \\ dv = \cos(x)dx \\ v =\int \cos(x)dx \\ v = \sin(x)$

$\int u.dv = u.v - \int v.du$

$\int \cos(x). \cos(x)dx \\ = \cos(x). \sin(x) \\ - \int \sin(x). - \sin(x) dx$

$\int \cos(x). \cos(x) \\ = \sin(x) . \cos(x) \\ + \int \sin(x). \sin(x)dx$

Vamos usar integral por partes para calcular a integral de senx. senx.

$u = \sin(x) \\ du = \cos(x)dx \\ dv = \sin(x)dx \\ v = \int \sin(x)dx \\ v = - \cos(x)$

$\int \sin(x). \sin(x)dx \\ = \sin(x).( - \cos(x)) - \\ \int - \cos(x). \sin(x) dx \\ = - \sin(x) \cos(x) + \frac{ { \sin}^{2}x}{2} + c$

Voltando a integral original temos

$\int \cos(x) \cos(x)dx \\ = \sin(x) \cos(x) \\ + ( - \sin(x) \cos(x) )+ \frac{ { \sin }^{2}x}{2}) + c$

$\int { \cos}^{2}dx = \frac{ { \sin}^{2} x}{2} + c$