Question

cos 2pi/7 + cos4pi/7 + cos6pi/7?

Answer 1

Vamos tomar como base as raízes do polinômio $p(x)=x^{7}-1$.

Essas raízes são conhecidas como as raízes sétimas da unidade e tem a forma genérica:
x = cis(2kpi/7) com k = {0,1,2,3,4,5,6}.

Veja que, pelas relações de Girard podemos verificar que o valor da soma das raízes de p(x) é zero.
Assim teremos:
1 + cis(2pi/7) + cis(4pi/7) + cis(6pi/7) + cis (8pi/7) + cis(10pi/7) + cis(12pi/7) = 0

Dessa forma, tanto o somatório da parte real, quanto da parte imaginária deverão se anular.
Logo teremos:

1 + cos(2pi/7) + cos(4pi/7) + cos(6pi/7) + cos (8pi/7) + cos(10pi/7) + cos(12pi/7) = 0

Mas veja que o cosseno de ângulos replementares (que somam 2pi ou 360°) são iguais.
Portanto nossa soma pode ser reescrita como:
2cos(2pi/7) + 2cos(4pi/7) + 2cos(6pi/7) = -1

cos(2pi/7) + 2cos(4pi/7) + 2cos(6pi/7) = -1/2