Question

Cortam-se uma esfera por uma secção, cuja área é 1/ 4 da área do círculo
máximo cujo comprimento é de 12pi. Pede-se:
a) calcular a área e o volume da esfera;
b) as áreas das calotas esféricas (determinadas pela secção);
c) as distâncias polares de um ponto situado sobre a secção.
d) o fuso e a cunha se & = 45º.

Answer 1

O círculo menor tem comprimento igual a 12pi.

sabendo que $comprimento=2\pi r$, podemos afirmar que o raio tem medida 6.

A área do circulo de comprimento 6 é 1/4 da área do circulo máximo.

$\pi6^2=\frac{1}{4}\pi R^2$

$4\pi6^2=\pi R^2$

$R=12$

A área da esfera é obtida por

$4\pi R^2 =4\pi12^2=576\pi m^2$

volume da esfera é obtido por

$\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{4}{3}\pi 12^3=2304\pi m^3[tex]</p><p>A área da calota é dada por [tex]2\pi Rh$onde h é a distância do disco até o Polo.

Para a seção, a área da calota menor será $2\pi 12\cdot6=144\pi$

a área da calota maior será $2\pi 6\cdot(6+12)=432\pi$

A distância polar do círculo será obtida pelo teorema de Pitágoras :

$D_1^2 =12^2+(12-6)^2\implies D_1=\sqrt{180}$

$D_2^2 =12^2+(12+6)^2\implies D_1=\sqrt{468}$

O fuso terá a área igual a

$fuso=\dfrac{4\pi R^2\alpha} {360}$

$fuso=\dfrac{4\pi 12^2\cdot45^\circ} {360}=72m^2$

Cunha terá volume igual a

$fuso=\dfrac{\dfrac{4}{3}\pi R^3\alpha} {360}$

$fuso=\dfrac{\dfrac{4}{3}\pi 12^3\cdot45} {360}288m^3$